例1 求
解 e3x是一个复合函数,设中间变量u=3x,则du=d(3x)=3dx,即,则
例2 求
解 令u=2x,则du=2dx,则
例3 求
解 设u=3x-2,则du=3dx,则
在计算中,如果不写出中间变量u,在被积表达式中直接凑出一个函数的微分,即中间变量u的微分,进而求出微分的方法称为凑微分法.如上述例3可以这样解:
常见的凑微分形式有:
例4 求.
解
例5 求
解
例6 求
解 因为
所以
例7 求
解
例8 求.
解
注意:在例6、例7、例8中,当被积函数的分母是二次三项式时,可以按照根的不同情况采用不同的处理方法.除了以上类型,还可以利用d(xn)=nxn-1dx.看下面的例题:
例9 求.
解 由d(x2+1)=2xdx,即,则
例10 求.
解 由,得
例11 求.
解 由,得
例12 求.
解 由
得
利用d(ex)=exdx,d(ax)=axlnadx,则有以下应用:
例13 求
解
例14 求.
解
例15 求.
解 因为(www.xing528.com)
则
例16 求.
解利用
,有以下应用.
例17 求.
解
例18 求.
解
利用三角函数的微分公式:
d(sinx)=cosxdx,d(cosx)=-sinxdx,d(tanx)=sec2xdx,d(cotx)=-csc2xdx则有以下应用:
例19 求∫tanxdx.
解
例20 求
解
例21 求
解 方法一
方法二
例22 求.
解 因为
所以
利用,
,有以下应用:
例23 求.
解
例24 求.
解
由以上例题可以看出,第一类换元法是一种非常灵活的计算方法,始终具有“逆向思维”的特点.因此对初学者来讲,较难适应,学生应熟悉这些基本例题.当然也有一些题,它不属于这些基本题型,但我们也可以通过观察找到解题的途径.
例25 求.
解 注意到d(x+cosx)=(1-sinx)dx,则
例26 求∫.
解 因为
所以
例27 求
解 方法一
方法二
同样的方法可以求得
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