最值问题在数学上可归结为求某一函数最大值或最小值问题.

最值问题在数学上可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.

假定函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且至多在有限个点处导数为零.现在在上述条件下，讨论f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值的求法.

首先，由闭区间上连续函数的性质可知，f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值一定存在.

其次，如果最大值（或最小值）f（x₀）在开区间（a，b）内的点x₀处取得，那么按f（x）在开区间内可导且至多有有限个驻点的假定可知，f（x₀）一定也是f（x）的极大值（或极小值），从而x₀一定是f（x）的驻点.又由于f（x）的最大值和最小值也可能在区间的端点处取得，因此，可用如下方法求f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值：

设f（x）在区间（a，b）内的驻点为x₁，x₂，…，x_n，那么比较f（a），f（x₁），f（x₂），…，f（x_n），f（b）的大小，其中最大的便是f（x）在区间[a，b]上的最大值，最小的便是f（x）在区间[a，b]上的最小值.

例4 求函数y=2x³+3x²-12x+14在区间[-3，4]上的最大值与最小值.

解 由f（x）=2x³+3x²-12x+14，得f′（x）=6x²+6x-12=6（x+2）（x-1）.(www.xing528.com)

解方程f′（x）=0，得到x₁=-2，x₂=1.由于

f（-3）=2（-3）³+3（-3）²-12（-3）+14=23

f（-2）=2（-2）³+3（-2）²-12（-2）+14=34

f（1）=2+3-12+14=7

f（4）=2×4³+3×4²-12×4+14=142

比较可得f（x）在x=4处取得它在区间[-3，4]上的最大值：f（4）=142；在x=1处取得它在区间[-3，4]上的最小值：f（1）=7.