高等数学上册：罗尔定理

由图31可知，曲线y=f（x）除两个端点外处处有不垂直于x轴的切线，且f（a）=f（b），从而曲线的最高点和最低点有水平切线，即在该点f′（ξ）=0.若用分析语言描述出来即得罗尔定理.这里先介绍费马引理.

定理1 （费马引理）设函数f（x）在点x₀的某个邻域U（x₀）内有定义，并且在点x₀处可导，如果对任意x∈U（x₀），有

f（x）≤f（x₀）或f（x）≥f（x₀）

那么f′（x₀）=0.

图3-1

证明 不妨设x∈U（x₀），f（x）≤f（x₀），于是，对于x₀+Δx∈U（x₀），有

f（x₀+Δx）≤f（x₀）

从而当Δx＞0时，有

当Δx＜0时，有

根据函数f（x）在x₀可导的条件及极限的保号性，便得到

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所以f′（x₀）=0.

定理2 （罗尔定理）如果函数f（x）满足：

（1）在闭区间[a，b]上连续；

（2）在开区间（a，b）内可导；

（3）在区间端点的函数值相等，即f（a）=f（b），那么在区间（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使得f′（ξ）=0.

证明 由于f（x）在闭区间[a，b]上连续，那么在闭区间[a，b]上必存在最值.设，，则有如下两种情形：

（1）M=m.这时有f（x）=M，x∈[a，b].显然f′（x）=0，x∈（a，b）.因此任取ξ∈（a，b），有f′（ξ）=0.

（2）M＞m.由于f（a）=f（b），那么f（a），f（b）不可能都是最值，从而在开区间（a，b）内必有一点ξ，使f（ξ）是最值.不妨设f（ξ）=M，因此由费马引理得f′（ξ）=0.

例1 对函数y=x²-2x-3在区间[-1，3]内验证罗尔定理，并确定ξ的值.

解 函数y=x²-2x-3在区间[-1，3]内连续，在区间（-1，3）内可导，且f（-1）=f（3）=0，所以满足罗尔定理.由于y′=2x-2=0，则x=1，即ξ=1.