高等数学.上册：函数极限性质及证明

由于函数极限的定义按自变量x的不同的变化过程有各种形式，所以下面仅以“”这种形式为代表给出函数极限的一些性质.至于其他形式的函数的极限性质，只需要进行相应的修改即可证明.

定理1 （函数极限的唯一性）如果存在，那么极限唯一.

定理2 （函数极限的局部有界性）如果，那么存在常数M＞0和δ＞0，使得当0＜∣x-x₀∣＜δ时，有

∣f（x）∣＜M

证明 因为，所以取ε=1，则∃δ，当0＜∣x-x₀∣＜δ时，有

∣f（x）-A∣＜1⇒∣f（x）∣≤∣f（x）-A∣+∣A∣＜∣A∣+1

取M=∣A∣+1，即可得证.

定理3 （函数极限的局部保号性）如果，而且A＞0（或A＜0），那么存在常数δ＞0，使得当0＜∣x-x₀∣＜δ时，有

f（x）＞0（或f（x）＜0）

证明 就A＞0的情形证明.

因为，所以取，∃δ＞0，当0＜∣x-x₀∣＜δ时，有

类似可以证明A＜0的情况.(www.xing528.com)

推论1 如果，那么存在x₀的某一去心邻域，当时，有

推论2 如果在x₀的某一去心邻域内，f（x₀）≥0（或f（x₀）≤0），且，那么A≥0（或A≤0）.

定理4 （函数极限与数列极限之间的关系）如果，｛x_n｝为函数f（x）的定义域内任一收敛于x₀的数列，且满足x_n≠x₀（n∈N^∗），那么相应的函数值数列｛f（x_n）｝必收敛，且

证明 设，则∀ε＞0，∃δ＞0，当0＜∣x-x₀∣＜δ时，有

∣f（x）-A∣＜ε

又，则对δ＞0，∃N，当n＞N时，有

∣x_n-x₀∣＜δ

由假设x_n≠x₀（n∈N^∗），故当n＞N时

0＜∣x_n-x₀∣＜δ

从而 ∣f（x_n）-A∣＜ε

所以