收敛数列的性质及收敛与发散的关系

定理1 （极限的唯一性）如果数列｛x_n｝收敛，那么它的极限唯一.

证明 用反证法.

设同时有x_n→a及x_n→b且a＜b，则取，由可知，，∃N₁，当n＞N₁时，有

由可知，，∃N₂，当n＞N₂时，有

取N=max｛N₁，N₂｝，则当n＞N时，式（1）和式（2）同时成立.但由式（1）有，而由式（2）有，这是不可能的.因此定理1成立.

定理2 （收敛数列的有界性）如果数列｛x_n｝收敛，那么数列｛x_n｝一定有界.

证明 设，根据数列极限的定义，对于ε=1，∃N，当n＞N时，不等式

∣x_n-a∣＜1

都成立.于是，当n＞N时，有

∣x_n∣=∣x_n-a+a∣≤∣x_n-a+a∣＜1+a

取M=max｛∣x₁∣，∣x₂∣，…，∣x_N∣，1+∣a∣｝，那么对于数列｛x_n｝中的一切x_n，都满足

∣x_n∣＜M

这就证明了数列｛x_n｝是有界的.

根据上述定理，如果｛x_n｝无界，那么数列｛x_n｝一定发散.但｛x_n｝有界，却不能断定数列｛x_n｝一定收敛.例如，数列

1，-1，1，…，（-1）ⁿ⁺¹，…

有界，但该数列是发散的.因此数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.

定理3 （收敛数列的保号性）如果，且a＞0（或a＜0），那么存在正整数N，当n＞N时，都有

x_n＞0（或x_n＜0）

证明 就a＞0的情形证明.由数列极限的定义，对，∃N，当n＞N时，有

从而(www.xing528.com)

推论 如果数列｛x_n｝从某一项起都有x_n≥0（或x_n≤0），且，那么

a≥0（或a≤0）

证明 设数列｛x_n｝从第N₁项起，即当n＞N₁时，有x_n≥0.现用反证法证明.

若，则由定理3知，∃N₂，当n＞N₂时，有

x_n＜0

取N=max｛N₁，N₂｝，当n＞N时，由假设有x_n≥0.而由定理3，有x_n＜0，矛盾.故有

a≥0

数列｛x_n｝从某一项起都有x_n≤0的情形，可类似证明.

下面介绍子列的概念及关于收敛的数列与子列之间的关系定理.

在数列｛x_n｝中任意抽取无限多项，并保持这些项在原数列｛x_n｝中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列｛x_n｝的子数列（或子列）.

设在数列｛x_n｝中，第一次抽取的记为，第二次在后抽取的记为，第三次在后抽取的记为……这样无休止地抽取下去，得到一个数列

这个数列就是｛x_n｝的一个子列.

定理4 （收敛数列与其子列之间的关系）如果数列｛x_n｝收敛于a，那么它的任何一个子列也收敛于a.

证明 设数列是数列{x_n}的任一子列.由于，故∀ε＞0，∃N，当n＞N时，有

∣x_n-a∣＜ε

成立.取K=N，则当k＞K时，n_k＞n_N≥N，于是

这就证明了

由定理4可知，如果数列｛x_n｝有两个子列收敛于不同的极限，那么数列｛x_n｝是发散的.例如，数列

1，-1，1，…，（-1）ⁿ⁺¹，…的子列｛x_2k-1｝收敛于1，而子列{x_2k}收敛于-1，因此数列x_n=（-1）ⁿ⁺¹（n=1，2，…）是发散的，同时这个例子也说明了一个发散数列也可能有收敛的子数列.