为了掌握变量的变化规律,有时不仅要考虑变量的变化过程,还要判断它的变化趋势.
例如,有一个变量,开始是1,然后变为,接着变为,然后是,,…,,…如此
一直无尽地变下去.虽然它是无尽的,但它的变化却有一个趋势,就是越来越接近于0.此时,我们就说这个变量的极限是0.高等数学中有很多重要的概念和方法都和极限有关,因此可以说极限是高等数学的一个重要的工具.在实际问题中,极限也占有重要地位,如求圆的面积和周长.我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术,就是极限思想在几何上的应用.
设有一圆,首先构建内接正六边形,面积记为A1;然后构建正十二边形,面积记为A2;再构建内接正二十四边形,面积记为A3……如此下去,每次边数增加一倍.一般地,把内接正6×2n-1边形的面积记为An,这样就得到一系列内接正多边形的面积
A1,A2,A3,…,An,…
它们构成一列有次序的数,当n越大时,内接正多边形的面积与圆的面积差别就越小,从而以An作为圆面积的近似值也越精确.但无论n取如何大,只要n取定了,An也只是多边形的面积,而不是圆的面积.如果n无限增大(记为n→∞,读作n趋于无穷大)时,内接正多边形的边数也无限增加,而在这个过程中,内接正多边形无限接近于圆.这个“无限接近”的过程就是一个极限过程.这时,An也无限接近某一确定的数值,这个确定的数值可理解为圆的面积.
我们首先说明数列的概念.如果按照某一法则,对于每一个n∈N∗,都对应着一个确定的实数xn.这些实数xn按照下标n从小到大排列得到的一个序列
x1,x2,…,xn,…
叫作数列,简记为{xn}.
数列中的每一个数叫作数列的项,第n项叫作数列的一般项.
一些简单数列的例子:
,具体写出来就是:-1,,,,…
,具体写出来就是:2,,,,…
{n2},具体写出来就是:1,4,9,16,…
{1+(-1)n},具体写出来就是:0,2,0,2,…
数列{xn}可看作自变量为正整数n的函数
xn=f(n),n∈N∗
当自变量n依次取1,2,3,…所有正整数时,对应的函数就排列成数列{xn}.
现在我们关心的是:当n无限增大时(即n→∞时),对应的xn=f(n)是否能无限接近于某个确定的数值.如果能,这个数值又等于什么?
从直观上容易看出,数列随着n的增大,越来越接近于1.但我们还是要进一步分析,如何用数学语言来表达.所谓数列越来越接近1,是指随着项数n的增加,越来越接近于1.换句话说,当n不断增大时,与1的差不断接近于0.
进一步说,随便给定一个无论多么小的正数ε,与1之差的绝对值总会小于这个ε,条件是n必须充分大.但究竟n要多大呢?只要按照下面的方法去做就可以了,即为了使得
解此不等式,可得
把上面的话连接起来就是:对于任意给定的ε>0,只要,就能证明与1之差的绝对值小于ε,这就意味着越来越接近1.把这句话抽象化,可得到数列极限的定义.
定义1 (数列极限的定义)设{xn}为一数列,如果存在正常数a,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在一个正整数N,使得当n>N时,不等式
∣xn-a∣<ε
都成立,我们就称常数a是数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛于a,记为
或xn→a(n→∞)
如果不存在这样的常数a,就说数列{xn}没有极限,或者说数列{xn}是发散的,习惯上说不存在.
上面定义中的正数可以任意给定是很重要的.只有这样,不等式∣xn-a∣<ε才能表达出xn与a无限接近的意思.此外,还应注意到,定义中的正整数N与任意给定的正数ε有关,它随着ε的给定而选定.
现在,我们给出数列极限的几何解释.在定义中不等式
∣xn-a∣<ε
就是 a-ε<xn<a+ε(www.xing528.com)
它表示xn在开区间(a-ε,a+ε)内.因此{xn}以a为极限就是对于任意给定的一个开区间(a-ε,a+ε),第N项以后的一切数xN+1,xN+2,…全部落在这个区间内(见图1-9),而只有有限个(至多N个)在区间以外.
图1-9
为了表达方便,引入记号“∀”,它表示“对于任意给定的”或“对于每一个”;记号“∃”表示“存在”.于是“对于任意给定的ε>0”可写成“∀ε>0”;“存在正整数N”可写成“∃N”,而数列极限的定义表达为
,N,当n>N时,有∣xn-a∣<ε
数列极限的定义并没有直接提供求数列极限的方法,关于极限的求法后面再讲.现在举几个例子说明极限的概念以及如何用定义来考察数列的极限.
例1 证明数列
的极限是1.
证明 ∀ε>0,要使
则有
取,当n>N时,有
总成立.故
例2 证明数列的极限是0.
证明 ∀ε>0,要使
即
取,当n>N时,有
总成立.故
例3 证明:.
证明当q=0时,显然有0.
当q≠0时, ∀ε>0,要使
∣qn-0∣=∣qn∣<ε
只要 nln∣q<lnε
即
取,则当n>N时,有
qn<ε
总成立.故0.
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