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掌握数列极限定义的方法

时间:2023-11-23 理论教育 版权反馈
【摘要】:为了掌握变量的变化规律,有时不仅要考虑变量的变化过程,还要判断它的变化趋势.例如,有一个变量,开始是1,然后变为,接着变为,然后是,,…

掌握数列极限定义的方法

为了掌握变量的变化规律,有时不仅要考虑变量的变化过程,还要判断它的变化趋势.

例如,有一个变量,开始是1,然后变为978-7-111-50850-2-Chapter01-43.jpg,接着变为978-7-111-50850-2-Chapter01-44.jpg,然后是978-7-111-50850-2-Chapter01-45.jpg978-7-111-50850-2-Chapter01-46.jpg,…,978-7-111-50850-2-Chapter01-47.jpg,…如此

一直无尽地变下去.虽然它是无尽的,但它的变化却有一个趋势,就是越来越接近于0.此时,我们就说这个变量的极限是0.高等数学中有很多重要的概念和方法都和极限有关,因此可以说极限是高等数学的一个重要的工具.在实际问题中,极限也占有重要地位,如求圆的面积和周长.我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术,就是极限思想在几何上的应用.

设有一圆,首先构建内接正六边形,面积记为A1;然后构建正十二边形,面积记为A2;再构建内接正二十四边形,面积记为A3……如此下去,每次边数增加一倍.一般地,把内接正6×2n-1边形的面积记为An,这样就得到一系列内接正多边形的面积

A1A2A3,…,An,…

它们构成一列有次序的数,当n越大时,内接正多边形的面积与圆的面积差别就越小,从而以An作为圆面积的近似值也越精确.但无论n取如何大,只要n取定了,An也只是多边形的面积,而不是圆的面积.如果n无限增大(记为n→∞,读作n趋于无穷大)时,内接正多边形的边数也无限增加,而在这个过程中,内接正多边形无限接近于圆.这个“无限接近”的过程就是一个极限过程.这时,An也无限接近某一确定的数值,这个确定的数值可理解为圆的面积.

我们首先说明数列的概念.如果按照某一法则,对于每一个nN,都对应着一个确定的实数xn.这些实数xn按照下标n从小到大排列得到的一个序列

x1x2,…,xn,…

叫作数列,简记为{xn}.

数列中的每一个数叫作数列的项,第n项叫作数列的一般项.

一些简单数列的例子:

978-7-111-50850-2-Chapter01-48.jpg,具体写出来就是:-1,978-7-111-50850-2-Chapter01-49.jpg978-7-111-50850-2-Chapter01-50.jpg978-7-111-50850-2-Chapter01-51.jpg,…

978-7-111-50850-2-Chapter01-52.jpg,具体写出来就是:2,978-7-111-50850-2-Chapter01-53.jpg978-7-111-50850-2-Chapter01-54.jpg978-7-111-50850-2-Chapter01-55.jpg,…

{n2},具体写出来就是:1,4,9,16,…

{1+(-1)n},具体写出来就是:0,2,0,2,…

数列{xn}可看作自变量为正整数n的函数

xn=fn),nN

当自变量n依次取1,2,3,…所有正整数时,对应的函数就排列成数列{xn}.

现在我们关心的是:当n无限增大时(即n→∞时),对应的xn=fn)是否能无限接近于某个确定的数值.如果能,这个数值又等于什么?

从直观上容易看出,数列978-7-111-50850-2-Chapter01-56.jpg随着n的增大,越来越接近于1.但我们还是要进一步分析,如何用数学语言来表达.所谓数列978-7-111-50850-2-Chapter01-57.jpg越来越接近1,是指随着项数n的增加,978-7-111-50850-2-Chapter01-58.jpg越来越接近于1.换句话说,当n不断增大时,978-7-111-50850-2-Chapter01-59.jpg与1的差不断接近于0.

进一步说,随便给定一个无论多么小的正数ε978-7-111-50850-2-Chapter01-60.jpg与1之差的绝对值总会小于这个ε,条件是n必须充分大.但究竟n要多大呢?只要按照下面的方法去做就可以了,即为了使得

978-7-111-50850-2-Chapter01-61.jpg

解此不等式,可得

978-7-111-50850-2-Chapter01-62.jpg

把上面的话连接起来就是:对于任意给定的ε>0,只要978-7-111-50850-2-Chapter01-63.jpg,就能证明978-7-111-50850-2-Chapter01-64.jpg与1之差的绝对值小于ε,这就意味着978-7-111-50850-2-Chapter01-65.jpg越来越接近1.把这句话抽象化,可得到数列极限的定义.

定义1 (数列极限的定义)设{xn}为一数列,如果存在正常数a,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在一个正整数N,使得当nN时,不等式

xn-a∣<ε

都成立,我们就称常数a是数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛于a,记为

978-7-111-50850-2-Chapter01-66.jpg

xnan→∞)

如果不存在这样的常数a,就说数列{xn}没有极限,或者说数列{xn}是发散的,习惯上说978-7-111-50850-2-Chapter01-67.jpg不存在.

上面定义中的正数可以任意给定是很重要的.只有这样,不等式∣xn-a∣<ε才能表达出xna无限接近的意思.此外,还应注意到,定义中的正整数N与任意给定的正数ε有关,它随着ε的给定而选定.

现在,我们给出数列极限的几何解释.在定义中不等式

xn-a∣<ε

就是 a-εxna+ε(www.xing528.com)

它表示xn在开区间(a-εa+ε)内.因此{xn}以a为极限就是对于任意给定的一个开区间(a-εa+ε),第N项以后的一切数xN+1xN+2,…全部落在这个区间内(见图1-9),而只有有限个(至多N个)在区间以外.

978-7-111-50850-2-Chapter01-68.jpg

1-9

为了表达方便,引入记号“∀”,它表示“对于任意给定的”或“对于每一个”;记号“∃”表示“存在”.于是“对于任意给定的ε>0”可写成“∀ε>0”;“存在正整数N”可写成“∃N”,而数列极限978-7-111-50850-2-Chapter01-69.jpg的定义表达为

978-7-111-50850-2-Chapter01-70.jpg978-7-111-50850-2-Chapter01-71.jpgN,当nN时,有∣xn-a∣<ε

数列极限的定义并没有直接提供求数列极限的方法,关于极限的求法后面再讲.现在举几个例子说明极限的概念以及如何用定义来考察数列的极限.

例1 证明数列

978-7-111-50850-2-Chapter01-72.jpg

的极限是1.

证明 ∀ε>0,要使

978-7-111-50850-2-Chapter01-73.jpg

则有978-7-111-50850-2-Chapter01-74.jpg

978-7-111-50850-2-Chapter01-75.jpg,当nN时,有

978-7-111-50850-2-Chapter01-76.jpg

总成立.故

978-7-111-50850-2-Chapter01-77.jpg

例2 证明数列978-7-111-50850-2-Chapter01-78.jpg的极限是0.

证明 ∀ε>0,要使

978-7-111-50850-2-Chapter01-79.jpg

978-7-111-50850-2-Chapter01-80.jpg

978-7-111-50850-2-Chapter01-81.jpg,当nN时,有

978-7-111-50850-2-Chapter01-82.jpg

总成立.故

978-7-111-50850-2-Chapter01-83.jpg

例3 证明:978-7-111-50850-2-Chapter01-84.jpg.

证明当q=0时,显然有978-7-111-50850-2-Chapter01-85.jpg0.

q≠0时, ∀ε>0,要使

qn-0∣=∣qn∣<ε

只要 nln∣q<lnε

978-7-111-50850-2-Chapter01-86.jpg

978-7-111-50850-2-Chapter01-87.jpg,则当nN时,有

qnε

总成立.故978-7-111-50850-2-Chapter01-88.jpg0.

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