映射的概念及定义-高等数学.上册

1.映射概念

定义1 设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为X到Y的映射，记作

f∶X→Y

其中y称为元素x（在映射f下）的象，记作f（x），即

y=f（x）

而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原象，集合X称为映射f的定义域，记为D_f；X中所有元素的象所组成的集合称为映射f的值域，记作R_f或f（X），即

R_f=f（X）=｛f（x）x∈X｝

2.满射

设f是从集合X到集合Y的映射，若

R_f=Y

即Y中的每一个元素y都是X中某元素的象，则称f为X到Y的满射.

3.单射

若对X的任意两个不同的元素x₁，x₂，即x₁≠x₂，它们的象也不同，即

f（x₁）≠f（x₂）(www.xing528.com)

则称f为X到Y的单射.

4.一一映射（单满射）

若映射f既是单射又是满射，则称f为一一映射，也称为单满射.

5.逆映射

如果f为X到Y的单满射，则对于每一个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）=y，从而定义了一个从Y到X的映射g，即

g∶Y→X

这个映射g称为f的逆映射，记作f^-1，其定义域D_f-1=Y，值域R_f-1=X.

6.复合映射

设两个映射

g∶X→Y₁，f∶Y₂→Z

其中Y₁⊆Y₂，则由映射g和f可以定义一个从X到Z的对应法则，它将每一个x∈X映成

f[g（x）]∈Z

这个法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为g和f构成的复合映射，记为，其中，x∈X.