振型叠加：在线性动力响应问题中的应用

在线性问题中，结构在载荷作用下的动力响应可以用固有频率和振型来表示，即结构的变形可以采用振型叠加的技术由各振型的组合得到，每一阶模态都要乘以一个标量因子。模型中位移矢量u定义如式（12-8）所示：

式中 ∂_i——振型φ_i的标量因子。

这一技术只在模拟小变形、线弹性材料及无接触条件情况下是有效的，即必须是线性问题。

在结构动力学问题中，结构的响应往往取决于相对较少的几阶振型，这使得振型叠加方法在计算这类系统的响应时特别有效。考虑一个含有10000个自由度的模型，则对运动方程的直接积分需要在每个时间点上求解10000个联立方程组。但若结构的响应采用100阶振型来描述，那么在每个时间步上只需求解100个方程。更重要的是，振型方程是解耦的，而原来的运动方程是耦合的。虽然在计算振型和频率时需要花费一些时间作为代价，但在计算响应时将节省大量的时间。

如果在模拟中存在非线性，那么在分析中固有频率会发生明显的变化，因此振型叠加法将不再适用。在这种情况下，需要对动力平衡方程直接积分，这将比振型分析要花费更多的时间。

具有下列特点的问题才适于进行线性瞬态动力学分析：(www.xing528.com)

系统是线性的——具有线性材料特性，无接触条件，无非线性几何效应；

响应只受较少的频率支配，当响应中各频率成分增加时，例如撞击和冲击问题，振型叠加方法的有效性将大大降低；

载荷的主要频率在所提取的频率范围内，以确保对载荷的描述足够精确；

任何突然加载所产生的初始加速度都能用特征模态精确描述；

系统的阻尼不能过大。