非线性来源的概述-从入门到精通

■材料非线性

大多数金属在小应变时都具有良好的线性应力—应变关系，但在应变较大时，材料会发生屈服，此时材料的响应变成了非线性和不可逆的，如图11-3所示。这种非线性是人们较为熟悉的一种非线性问题。

橡胶可以近似认为是具有非线性的、可逆（弹性）响应的材料，如图11-4所示。

图11-3 弹塑性材料轴向拉伸应力-应变曲线

图11-4 橡胶类材料应力-应变曲线

材料的非线性也可能与应变以外的其他因素有关。应变率相关材料的材料参数和材料失效都是材料非线性的表现形式。材料性质也可以是温度和其他预先设定的场变量的函数。

■几何非线性

几何非线性发生在结构位移的大小影响到结构响应的情形。这可能由于以下几种原因：

●大挠度或转动

●“突然翻转”

●初应力或载荷硬化

例如，端部受竖向载荷的悬臂梁，如图11-5所示。若端部挠度较小，分析时可以认为是近似线性的。然而若端部的挠度较大，结构的形状乃至于其刚度都会发生改变。另外，若载荷不能保持与梁垂直，载荷对结构的作用将发生明显的改变。当悬臂梁自由端部挠曲时，载荷可以分解为一个垂直于梁的分量和另一个沿梁的长度方向作用的分量。所有这些效应都会对悬臂梁的非线性响应产生影响（也就是梁的刚度随它所承受载荷的增加而不断变化）。

图11-5 悬臂梁的大挠度

可以预料大挠度和转动对结构承载方式有重要影响。然而，并非位移相对于结构尺寸很大时，几何非线性才显得重要。例如，一块很大的平板在所受压力下的“突然翻转”现象，如图11-6所示。

图11-6 大平板的突然翻转

在此例中板的刚度在变形时会产生戏剧性的变化。当平板突然翻转时，刚度就变成了负的。这样，尽管位移的量值相对于板的尺寸来说很小，在模拟分析中仍有严重的几何非线性效应，这是必须加以考虑的。

此时，只需对模型做些小的修改就可以将几何非线性效应包含于分析中。

首先要在定义分析步时考虑几何非线性效应，要给出分析步中允许的最大增量步的数目。如果ABAQUS需要比此数目更多的增量步来完成分析，它将中止分析并给出出错信息。(www.xing528.com)

分析步中默认的增量步数是100，但如果题目有显著的非线性，可能会需要更多的增量步。用户给出的增量步数目是ABAQUS可以采用的增量步数的上限，而不是它所必须使用的增量步数。

在非线性分析中，一个分析步是发生于一段有限的“时间”内的。除非该问题中惯性效应或率相关效应是重要因素，否则这里的“时间”并没有物理含义。

用户是在这个理解背景下指定初始时间增量ΔT_initial和此分析步的总时间ΔT_total的。这些数据也指定了第一个增量步中所施加的载荷的比例。初始载荷增量的计算见式（11-1）。

初始时间增量的选择对于某些非线性模拟计算可能会很关键。但对大多数分析来说，初始时间增量的大小介于总分析步时间的5%～10%之间通常是足够的，除非模型中包含率相关材料效应或阻尼器等情况。在静态模拟计算时，为了方便，总分析步时间通常均置为1.0。当总分析步时间为1.0时，所施加载荷的比例总是等于当前的时间步大小，也就是当时间步为0.5时施加的载荷就是总载荷的50%。

初始增量大小必须指定，但后面的增量大小却由ABAQUS自动控制。尽管也可以对增量大小进行进一步的人工控制，但ABAQUS的自动控制对于大多数非线性模拟计算来说是适合的。

如果收敛性问题造成过多的增量减小，使得增量值降到了最小值以下，ABAQUS就会中止分析。默认的最小容许时间增量ΔT_min为10⁵乘以总分析步时间。

除了总分析步时间的限制外，ABAQUS对最大时间增量ΔT_max没有默认的上界限制。用户也可以根据ABAQUS模拟计算的实际情况，指定不同的最小和/或最大容许的增量大小。如果知道模拟计算在所加载荷过大时，求解会出现问题（例如模型在大载荷时会经历塑性变形），为了减小ΔT_max，此时就可以指定最大容许增量步。

在几何非线性分析中，局部的材料方向在每个单元中可能随变形而转动。对于壳、梁及桁架单元，局部的材料方向总是随变形而转动的。

对于实体单元，仅当单元参照非默认的局部材料方向时，局部材料方向才随变形而转动，而在默认情况下局部材料方向在整个分析中将始终保持不变。

在结点上定义的局部方向在整个分析中始终保持不变，不随变形而转动。详细情况请参阅帮助文档的相关章节。

一旦在一个分析步中包括几何非线性，所有的后继分析步中都会自动考虑几何非线性。如果在一个后继分析步中没有要求几何非线性，ABAQUS会发出警告信息并声明仍然包括几何非线性。

模型的大变形并不是唯一的重要几何非线性效应。ABAQUS中刚度矩阵的计算也包括由于施加载荷引起的单元刚度项（称为载荷刚度）的计算，这些项能改善计算的收敛情况。另外，壳的薄膜载荷、缆索和梁的轴向载荷都对结构在横向载荷响应的刚度产生很大影响。所以在考虑几何非线性时，这种由于横向载荷对薄膜刚度的影响应该考虑在内。

■边界非线性

若边界条件随分析过程发生变化，就会产生边界非线性问题。如图11-7所示的悬臂梁，它随施加的载荷发生挠曲，直至碰到障碍。

图11-7 将碰到障碍物的悬臂梁

梁端部的竖向挠度与载荷在它接触到障碍以前是线性关系。在端部碰到障碍后梁端部的边界条件发生突然的变化，阻止竖向挠度继续增大，因此梁的响应将不再是线性的。边界非线性是极度不连续的，在模拟分析中发生接触时，结构的响应特性会在瞬时发生很大的变化。

另一个边界非线性的例子是将板材材料冲压入模具的过程。在与模具接触前，板材在压力下的伸展变形是相对容易产生的，在与模具接触后，由于边界条件的改变，必须增加压力才能使板材继续成型。

边界非线性问题是ABAQUS一个非常重要的应用领域，本书将在第13章接触问题详细介绍。