多元样条的概率解释-无处不在的样条函数

多元样条的概率解释来源于S.Karlin和C.A.Micchelli1986年的论文Multivariate Splines：A Probabilistic Perspective，

是Rn+1中的单纯形.V=（V0，···，Vn）为单纯形△n上定义的服从均匀分布的随机变量.

Rs中的随机变量

注意：在第3章和第4章中，我们利用一元B样条的对数凹性质得到了Eulerian数、下降多项式以及细化Eulerian数的对数凹性质.定理6.5是利用概率解释对一元B样条对数凹性质的推广.一元情形的证明得益于Curry和Schoenberg[80]的利用Brunn-Minkowski不等式得到的结果.Dahmen和Micchelli推广了Curry和Schoenberg的证明，利用几何解释得到了标准的多元B样条的对数凹性质.

证明　由于Rn上任意一个对数凹的概率密度函数的边缘概率密度仍然保留对数凹的性质（可以参考Borell[81]、Rinott[82]和Das Gupta[83]），因而定理得证.特殊的例子就是当φ取任意凸集合上的均匀分布的时候，φ具有对数凹的性质，因而根据定理，Mφ（t|x0，···，x n）也具有对数凹的性质.(www.xing528.com)

下面来讨论另外一个和Dirichlet概率密度函数有关的有趣的例子.

其中α0＞0，···，αn＞0，Gamma密度函数为

对于Dirichlet概率密度函数与Gamma密度函数都为对数凹的的概率密度.

当α0=···=αn=1的时候，Dirichlet概率密度退化为单纯形Δn均匀分布，因而MD（t|x0，···，xn），t∈Rs是多元B样条M（t|x0，···，xn）.