B样条有一种直观而有趣的解释，即B样条的几何解释：多元光滑分片多项式可以看作高维空间多面体的“切片”体积.由于计算多面体体积问题的复杂性，在历史上人们并没有沿着这个方向来研究多元样条函数，而是通过广义函数的定义方式发展了多元样条函数理论.伴随样条函数理论的发展成熟，产生了很多计算工具，而与多面体体积计算相关联的领域，比如超平面配置领域的研究，仍然沿用代数几何或者李代数的方法，发展了众多计多面体体积的公式和定理.这些定理和公式在很大程度上与样条理论等价，而且两个分支在互不知晓的情况下各自独立地发展了30多年.很自然地，人们会想到可否利用多元样条的理论来研究多面体体积问题.这样便能建立多元样条函数与多个数学分支的紧密关联，从而体现数学的相关性与和谐性.这方面的研究起始于贾荣庆[77]关于幻方猜想的证明，此后，我国数学家许志强研究员系统地研究了这一关联，做出了很多原创性的贡献.本节主要介绍多面体体积与多元样条函数的联系，梳理前人的工作，并且提出未来的发展方向.本章的最后附上I.J.Schoenberg与H.B.Curry的通信，再现B样条理论的历史发展脉络.
Curry和Schoenberg在文献[24]中给出了一元B样条的几何解释，即
因此，Curry-Schoenberg给出了一元B样条的一种几何解释[24]
这个公式表明，B样条可以看作是单纯形的“切片”体积（见图6.1）.
图6.1 由单纯形切片面积得到的一元二次B样条
特别地，当公式（6.36）中的n=1时，该公式退化为区间[x0，xn]的特征函数.当然，我们也要指出公式（6.36）对于任何满足条件vi|R=xi，i=0，1，···，n和voln[V]＞0的向量v0，···，vn都成立.公式（6.36）表明M（x；x0，···，xn）恰好是超平面{y∈[V]：y|R1=t}和单纯形[V]的截面面积与该单纯形自身体积的比值.若取[V]为单位立方体[0，1]n，则得到Box样条；若取[V]为单纯形，则得到单纯形样条；若取[V]为[0，+∞），则得到截断幂函数.这些解释，使得B样条函数在其他数学分支，如代数几何、组合数学、离散数学等，有着诸多重要的应用.在此，我们仅给出公式（6.36）在研究B样条性质方面的两个应用结果.
首先，利用公式（6.36）给出一元B样条的下界.
定理6.3
特别地，在区间（x0，xn）上，M（x；x0，···，xn）恒正.(www.xing528.com)
下面的证明要用到Brunn-Minkowski不等式（Milman和Schecktman在文献[78]中给出了这个不等式的证明），即：对于任何Rn-1中的两个非空凸集A1，A2，有如下的不等式成立
由于对数函数在（0，+∞）上是凹函数，即g（x）=log x，则对于任意的λ∈[0，1]，x1，x2∈（0，+∞），有g（λx1+（1-λ）x2）≥λg（x1）+（1-λ）g（x2）.
因此，可以得到
从而证明了一元B样条M（x；x0，···，xn）在其定义域内具有对数凹性质.
在Charles A.Micchelli的Mathematical Aspects of Geometric Modeling（1995）一书中，对公式（6.36）的评价“我们没有意识到关于公式（6.36）的任何应用，然而在Schoenberg的脑海里应该有着对这一解释的清楚认识”.在Schoenberg 1965年写给布朗大学的P.Davis信中，Schoenberg描述了一种构造二元B样条的方法.我们在本章的末尾会附上这封信的原文，以及历史上其他关于构造多元样条的记录.Schoenberg在信中画了一个关于二元二次样条的草图，这个草图能够清楚地显示出二元样条曲面在顶点附近的截面由一元B样条所构成.
图6.2 一元二次B样条
然而，Micchelli对公式（6.36）的评价还为之过早.我国青年数学家许志强[79]在其博士论文中最先给出了公式（6.36）的在组合数学和离散几何学中的应用.由于计算多面体体积的复杂性，人们利用多面体体积研究样条函数的性质成为不大可能实现的奢望.这就是Micchelli等学者没有对这一样条几何解释进行深入研究的原因.但是，随着多元样条函数理论的发展，尤其是随着Box样条、单纯形样条、多元截断幂函数的理论研究的成熟，人们利用样条函数来研究与多面体体积相关联的问题成为可能.
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