无处不在的样条函数：下降多项式与B样条

下降多项式，记作，定义为

注记4.1　由定理4.4和B样条的递归关系（4.4），可以很容易地得到上述递归关系.并且当n=1时，得到广为人知的Eulerian数的递归关系（4.3）.

组合数的对数凹性是计数组合学研究的一个中心问题，并和许多数学分支相互关联.一般而言，研究组合序列的对数凹性有以下几种方法：直接的组合方法、多项式实零点方法、解析法、混合体积法、代数方法等（关于这方面的研究可以参考美国科学院院士Richard P.Stanley[11]和教授Francesco Brenti[12][13]等人在这一领域的综述性文献与专著）.这里，我们将引入一种研究组合数对数凹性的新方法——条函数方法.首先，给出序列对数凹性和单峰性的定义.

定义4.2　正序列{a0，···，an}称为具有对数凹性，如果i=1，···，d-1.

定义4.3　正序列{a0，···，an}称为具有单峰性，如果对于指标0≤j≤d，有ai≤ai+1，i=0，···，j-1且ai≤ai+1，i=j，···，d-1.

由此可知，对数凹性是比单峰性更强的一种性质.

我们回忆一下B样条的对数凹性.Curry和Schoenberg[24]曾利用样条函数的几何解释（3.7）证明了B样条具有对数凹性.

引理4.1　log S（t|t0，t1，···，tn）在区间（t0，tn）上是凹函数.

注记4.2　该引理的证明基于B样条的几何解释（3.7）和Brunn-Minkowski不等式.

利用引理4.1，可以很容易地得到一些与多面体体积相关联的组合数的对数凹性.

推论4.4　（Eulerian数的对数凹性）Eulerian数Ad，k对于给定的d关于k具有对数凹性.

Steingr´ımsson[44]利用Brenti[12]的方法，证明了对于任意取定的d和n，序列D（d，n，k）关于k=0，···，d具有单峰性.利用序列D（d，n，k）的样条解释，我们得到如下推论.(www.xing528.com)

推论4.5　对于任意取定的d和n，序列D（d，n，k）关于k=0，···，d具有对数凹性.

注记4.3　本章开篇提到的Schmidt和Simion[14]1997年提出的公开问题：还有哪些组合序列是产生于多面体的截面？它们中具有对数凹性质的序列是否可以与混合体积相互关联？由此我们猜想，在计数组合学中，引入样条函数方法，使得样条函数作为沟通具有对数凹性质的组合序列和混合体积之间的桥梁.一个很好的例子就是上文提到的细化Eulerian数Ad+1，k，d+1-j.在定理4.2的证明中，便可以看出这种关联.

根据定理4.2和定理4.4，可以得到如下关于D（d，n，k）和Ad+1，k，d-j+1的新结果.

定理4.5　（i）D（d，n，k）的显式表达式

（ii）Ad+1，k，d-j+1的显式表达式

（iii）序列D（d，n，k）满足双尽度方程

特别地，当n=1，可知

（v）Ad+1，k，d-j+1的递归关系式

证明　（i）和（ii）可以直接由B样条的显式公式（4.5）得到，（iii）可以由B样条的细分方程（4.10）得到.因而，这里仅仅给出（v）的详细证明.

根据（ii），利用细化Eulerian数的显式公式，可知