【摘要】：首先先回顾一下Eulerian数与B样条的基本性质.当d＞0时，Eulerian数有如下的显式表达式：且满足如下递归关系：d阶B样条记作Bd，定义为当d≥2时，且有如下显式表达式：其中，定理4.1给出了B样条函数与Eulerian数之间的关系.定理4.1Eulerian数的样条解释该定理表明Eulerian数可以看作离散B样条.可以利用发展成熟的样条函数理论，对与Eulerian数相关联的组合问
首先先回顾一下Eulerian数与B样条的基本性质.当d＞0时，Eulerian数有如下的显式表达式：
且满足如下递归关系：
d阶B样条记作Bd，定义为
当d≥2时，
且有如下显式表达式：
其中，
定理4.1给出了B样条函数与Eulerian数之间的关系.
定理4.1 Eulerian数的样条解释(www.xing528.com)
该定理表明Eulerian数可以看作离散B样条.可以利用发展成熟的样条函数理论，对与Eulerian数相关联的组合问题进行研究，在组合学中引入一套样条函数方法.
证明 （方法一）显然，由Eulerian数和B样条的显示表达式容易看出二者之间的关系.下面我们应用递归关系给出该定理的证明.容易看出当k=0时，结论成立.假设当d≤k时，结论成立.公式（4.4）意味着
比较式（4.3）和（4.6），由递归关系知结论成立.
与多面体相关联的组合数，对其几何解释的研究显得尤为重要.我们希望利用Eulerian数和B样条函数的几何解释来重新证明上述定理.这个方法具有一定的普遍性，本章后半部分的另外两类组合数的研究仍然基于这种方法.
（方法二）注意到式（4.1）和（3.16），我们有
其中，第一个等式利用B样条的几何解释即公式（3.16）得到，最后一个等式由
得到.
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