本章主要利用样条理论研究了一系列的计数组合学问题，为离散对象的研究提供了一种新的分析方法.运用样条方法，给出经典Eulerian数和两类广义Eulerian数的样条解释.使得样条与组合学这两个领域的很多结果相互关联.例如，将组合学中著名的Worpitzky恒等式与样条函数理论中的Marsden恒等式建立起联系，从而使前者作为后者的特例Eulerian数的积分表示作为B样条积分表示的一种特殊情况.
将样条方法引入到组合数的渐近分析中，得到了三类组合数的渐近性质.不同于以往的概率方法，样条方法能够更为精确地刻画组合数的逼近形式.L.Carlitz[10]等人利用中心极限定理得到Eulerian数渐近公式的逼近阶为
阶.我们利用样条方法，得到更为精确的逼近阶.组合序列的对数凹性是计数组合学研究的重要问题之一.一般而言，研究组合序列的对数凹性有以下几种方法：直接的组合方法、多项式实零点方法、解析法、混合体积法、代数方法等.美国科学院院士Richard P.Stanley[11]和教授Francesco Brenti[12][13]等人在这一领域做了大量翔实而深刻的研究.在此，我们给出一种研究组合序列对数凹性的新方法——样条方法.利用该方法，证明了多种广义Eulerian数的对数凹性.特别地，E.Steingr´ımsson教授证明了广义下降多项式
的系数D（d，n，k）关于k具有单峰性.利用样条方法，我们得到了D（d，n，k）关于k具有对数凹性的更强结果.(www.xing528.com)
将样条函数与混合体积联系起来，给出了一类混合体积的样条解释.利用这种解释可以得到一类具有对数凹性的组合序列，从而部分回答了Schmidt和Simion[14]提出的关于混合体积的公开问题.利用该结果，给出了细化Eulerian数和下降多项式的显式和递归表示.
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