关于B样条渐近性质的研究，最早可以追溯到1904年.Sommerfeld[23]从力学问题出发，证明了B样条随着次数的增大渐近到Gauss函数.此后，Schoenberg[24]证明了一般结点的B样条随着次数的增大渐近到P´olya频率函数.直到1992年，Unser和他的合作者证明了基数B样条的渐近性质在Lp（R）空间中仍然成立.Ralph Brinks[25]将Unser的结果推广到B样条的导数情况，并且用于构造新的小波基底.但是他们都没有对逼近阶进行研究.本节利用不同的方法，重新证明了Unser等人[25][26]的结论，并且给出了收敛阶.首先有如下定理和推论.
定理3.5 令k∈N，则对于d＞k+2，B样条的k阶导数构成的序列
收敛于Gauss函数的k阶导数，即
并且
其中，极限是点态收敛或者在Lp（R），p∈[2，∞）中.
定理3.5的证明是基于以下关于sinc函数上界的引理3.1.
引理3.1 [25]若k，d∈N，且d≥k+2，存在ck∈R+使得
其中χA（x）是定义在集合A上的特征函数，则
且
证明 先证明如下不等式
推论3.1 对于任意d∈N，基数B样条收敛到Gauss函数，即(www.xing528.com)
并且有
其中，极限为点态收敛或者在Lp（R），p∈[2，∞）中.
利用推论3.1，可以证明Laplace和P´olya所给出的超立方体截面面积渐近的结论.
定理3.6
证明 根据B样条的几何性质可知
根据推论（3.1）有
从而结论得证.
注记3.3 我们给出的定理3.5及其推论3.1，不但可以用于立方体切片的研究，还可以用于构造新的小波基底，从而在数值分析中有良好的应用[26][25].这一结果在计数组合学中也有着重要的应用.我们利用其对后文中所要引入的Eulerian数等组合数的渐近性质进行了考察，得到了一系列有趣的结果，从而为计数组合学的研究提供了一种新的样条函数方法.
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