多元B样条应用及特点

de Boor，De Vore[31]首先将式（3.6）、（3.7）推广到了高维的情况.

令V为s×n实矩阵且rank（V）=s.V也可看作元素为s维列向量v1，···，vn组成的可重集合.我们假定V的凸包不包含原点.在文献[31][32]中，讨论了与V相关的Box样条B（·|V）.B（·|V）被如下规则所定义.

定义3.1

其中，D（Rs）为Rs上连续且紧支集函数组成的空间.事实上，下面的公式成立（见[21]）：

此处，V-1x={y|Vy=x}且voln（V-1x）为多面体V-1x在Rn中的体积.(www.xing528.com)

而且当n≥1，有

由定义可知，Bn具有紧支集[0，n]且关于对称.若将Bn做平移，就得到关于原点中心对称的均匀B样条关于Mn（x）有如下Fourier变换性质.

定理3.4　

公式（3.9）表明，多元Box样条可以看作是单位立方体体积在低维空间的投影.虽然人们早已注意到B样条与多面体体积的关联，但是由于计算多面体体积的复杂性，使得这一观点并没有成为研究样条函数的主流方法.而是利用公式（3.1）从广义函数的角度出发，建立了样条函数的丰富理论.那么，反过来，就可以利用这些丰富的结果，对多面体体积问题进行研究.关于多元B样条在这方面的更多应用，可以参考Micchelli[21]、贾荣庆[35][36]和许志强[37][38]等人的研究.下节将介绍B样条在单位立方体切面问题中的一些应用.