一元B样条：无处不在的样条函数

1946年，Schoenberg[1]比较系统地建立了样条函数的一般理论.此后，随着计算机技术的深入发展，样条函数在计算机辅助几何设计、小波分析、微分方程数值解等领域中均扮演着重要的角色.样条函数之所以能够得到如此广泛的应用，一个重要的原因是其有一个很好的基底——B样条基底.B样条方法又称投影子法，起源于Curry和Schoenberg[24]关于一元样条的工作，是一种定义B样条的几何直观方法.这种方法的本质是研究高维空间的多面体在较低维空间投影的测度函数.1976年，de Boor[30]将一元B样条推广到多元B样条.但这种几何定义的推广不便于理论研究，直到便于理论研究的泛函形式出现后，多元B样条的研究才开始活跃起来.

首先回顾一下一元样条的定义及相关性质.

以ti，0≤i≤n为结点的一元B样条，定义为

其中C0（R）为定义在R上的具有有限支集的连续函数全体.Curry-Schoenberg[24]就式（3.6）给出了一元B样条的一种几何解释.设n单纯形σ顶点vi的第一个分量是ti，0≤i≤n，则(www.xing528.com)

式中，v（1）表示v的第一个分量，voli为Ri中的Lebesgue测度.如无特别说明，测度均指Lebesgue测度.

注记3.1　式子（3.7）表明S（t|t0，···，tn）恰好是超平面v（1）与σ的截面面积与σ自身体积的比值.若取σ为单位立方体[0，1]n，则B样条可以看作是单位立方体体积的投影.这一观点，使得B样条成为研究离散几何学中立方体切片问题的新方法.