无处不在的样条函数：主要结构

本书主要内容包括以下方面：超收敛数值差商公式研究、离散几何中的样条方法、组合学中的样条方法、渐近分析中的双正交系统以及统计学中的样条方法.具体内容如下.

第2章主要考察了超收敛的数值差商公式及其余项的Lagrange表示.差商在数值分析中有着广泛的应用.B样条函数也可以看作是差分的再生核.本章的开篇以数值差商公式为例，讲述了利用f（x）的Hermite插值多项式的差商来替代原有函数的数值差商公式，因而解决了在节点间距较小时的数值差商困扰，从而拓宽了数学家Carl de Boor关于数值差商公式的适用范围.如果节点x0，x1，···，xk的间距很小时，一个函数f在其上的差商f[x0，···，xk]很难直接利用f的函数值进行计算.这时以f的Hermite插值多项式的差商来近似代替f的差商便是一个有效的途径.插值多项式虽然也有在另一组节点a0，a1，···，an上的差商计算问题，但可以把这组节点间距取得足够大，以便使计算能够顺利进行.王兴华、王何宇和来明骏[2]针对充分光滑函数，给出了数值差商公式余项的估计，并且推导出若干超收敛的数值差商公式及其余项的Lagrange表示.但他们给出的这类超收敛公式余项的Lagrange表示定理仅仅限定在节点x0，x1，···，xk，k=1，2，3，4的情况.他们猜想这一结论对所有正整数k成立.我们证明了这一猜想，拓宽了该定理的适用范围，得到了比较广泛的一类超收敛的数值差商公式余项的Lagrange表示定理.

第3章主要利用样条函数考虑了离散几何中的超立方体切面问题.将离散几何中的超立方体切面问题转化为与之等价的样条函数问题.在离散几何问题的研究中，引入样条方法.超立方体切面问题的研究最早可以追溯到Laplace和P´olya的研究工作.他们分别利用概率方法给出了切面体积的积分表示和渐近形式.P´olya所给出的立方体切面定理在离散几何的相关问题的研究中，显得非常重要.例如著名的Good猜想，其证明就是由Hensley利用概率论的方法巧妙地估计了P´olya所给出的公式.此外，Hensley还给出了另一个关于切面最大值的猜想.1989年，K.Ball[8]对P´olya所给出的体积积分公式进行估计，证明了Hensley猜想.2001年，Borwein[9]也曾给出类似于P´olya的积分公式.但是上述关于超立方体切面的结果大多由概率方法得到.在本书中，我们提出了一种样条方法，给出了Laplace和P´olya结果的样条证明，考察了B样条函数及其导函数在Lp空间的渐近性并且给出了逼近阶，从而使得Laplace和P´olya关于超立方体切面体积的渐近结果作为该定理的简单推论.该定理不但可以用于立方体切面的研究，而且该结果在计数组合学中也发挥着重要的作用.

第4章主要利用样条函数考虑了一系列的计数组合学问题.将样条函数理论引入到计数组合学的研究中，为计数组合学的研究提供了一种新的分析方法.本章运用样条方法，主要得到如下结论：

给出了经典Eulerian数的样条解释.使得这两个领域的很多结果相互关联.例如，将组合学中著名的Worpitzky恒等式与样条函数理论中Marsden恒等式建立起联系，使得前者作为后者的特例.Eulerian数的积分表示作为B样条积分表示的特殊情况.

将样条函数与混合体积联系起来，给出了一类混合体积的样条解释.利用这种解释可以得到一类具有对数凹性的组合序列，从而部分回答了Schmidt和Simion[14]提出的关于混合体积的公开问题.利用该结果，给出了细化Eulerian数、下降多项式的显式和递归表示.(www.xing528.com)

在组合序列对数凹性的研究中，引入样条方法.利用该方法，给出了多种广义Eulerian数的对数凹性.E.Steingr´ımsson证明了广义下降多项式的系数D（d，n，k）关于k具有单峰性.利用样条方法，我们得到了D（d，n，k）关于k具有对数凹性这一更强的结果.

将样条方法引入到组合数的渐近分析中，得到了三类组合数的渐近性质.不同于以往的概率方法，样条方法能够更为精确地刻画组合数的逼近形式，给出了优于L.Carlitz[10]等人利用中心极限定理所得到的Eulerian数渐近公式的逼近阶.

第5章主要讨论了渐近于Hermite多项式和Laguerre多项式的函数列性质.首先从Hermite多项式与Gauss函数导函数的双正交关系入手，借助渐近于Gaussian函数的函数类φ，给出渐近于Hermite正交多项式的一类Appell多项式的构造方法，使得该序列与φ的n阶导数之间构成了一组双正交系统.利用这一结果，可以得到多种正交多项式和组合多项式的渐近性质以及一些新的组合恒等式.特别地，由N阶B样条所生成的Appell多项式序列恰为N阶Bernoulli多项式.Bernoulli多项式与B样条的导函数之间便构成了一组双正交系统，且标准化之后的Bernoulli多项式随着N→∞渐近到Hermite多项式.由二项分布所生成的Appell序列为Euler多项式，从而Euler多项式与二项分布的导函数之间构成了一组双正交系统，且标准化的Euler多项式随着N→∞渐近到Hermite多项式.给出了Appell序列的生成函数满足尺度方程的充要条件.

给出了渐近于Hermite多项式的函数列的判定定理.应用该定理，验证了广义Buchholz多项式、广义Ultraspherical（Gegenbauer）多项式和广义Laguerre多项式渐近于Hermite多项式的性质.给出了渐近于Laguerre多项式的函数列的构造方法和判定定理.作为该定理的应用，利用Laguerre多项式给出了Meixner-Pllaczek多项式和Meixner多项式的渐近形式.我们的方法不仅适用于验证渐近于Hermite多项式和Laguerre多项式的函数类，也适用于构造具有这样性质的函数列.超几何正交多项式的Askey格式揭示了正交多项式之间的渐近关系.应用本章给出的判定定理验证了部分Askey格式成立.

第6章主要讨论了样条函数在概率统计学中的应用.我们关于多元样条函数与组合数学、离散几何学的研究成果已经被应用于概率统计领域.瑞典数学家Svante Janson在论文Euler-Frobenius Numbers and Rounding（2013）中将我们在第3章和第4章关于Eulerian数与B样条的研究结果，运用概率论的方法进行重新推广和证明.基于多元样条的概率解释，发展了分数阶样条与复数阶样条函数理论.这一方向的发展仍然方兴未艾，原则上讲，多元样条函数的理论结果大多可以按照上述关系推广至分数阶与复数阶样条函数.以多元样条函数的概率解释为基础也拓展到了统计学中的小样本渐近理论、非参数回归分析以及Copula函数等多个分支，从而应用于计量经济学与金融学之中.本章仅仅对样条函数的概率解释和非参数回归分析中的样条函数方法简单论述.