光滑余因子方法在无处不在的样条函数中的应用

1975年，王仁宏[16]采用代数几何的方法，建立了任意剖分下多元样条函数的基本理论框架，并提出所谓的光滑余因子方法.采用这种方法，多元样条函数的任何问题都可以转化为与之等价的代数问题来研究.

设D为R2中的一区域，以Pk记二元k次实系数多项式集合.一个二元多项式p称为不可约多项式，如果除了常数和该多项式自身外，没有其他多项式可整除它.代数曲线

称为不可约代数曲线，如果l（x，y）是不可约多项式.用有限条不可约代数曲线对区域D进行剖分，将剖分记为Δ，D被分为有限个子区域D1，···，DN，它们被称为D的胞腔.形成每个胞腔边界的线段称为网线，网线的交点称为顶点，同一网线的两个顶点称为相邻网点.以某一顶点V为顶点的胞腔的并集称为顶点V的关联区域或星形区域，记为St（V）.D上的关于剖分Δ的二元k次μ阶光滑样条函数空间定义为

基于代数几何中Bezout定理，王仁宏得到了多元样条函数光滑拼接条件.表现为如下定理：

定理1.1　[16]设（Δ），Di与Dj是剖分Δ的相邻胞腔.不可约代数曲线Γ：l（x，y）=0是Di与Dj的一条公共网线，Pi=s|Di，Pj=s|Dj，则有

其中，q（x，y）∈Pk-（μ+1）d称为网线Γ上的光滑余因子，此处d=deg（l）.

我们将位于区域D内部的网点称为内网点，否则称为边界网点.如果一条网线的内部属于区域D，则称此网线为内网线，否则称为边界网线.(www.xing528.com)

设A为一内网点，定义A点处的“协调条件”（Conformality Condition）为

其中，表示对一切以内网点A为一端的内网线求和，而q ij（x，y）为Γij上的光滑余因子.

设Δ的所有内网点为A1，···，AM，则“整体协调条件”（Global Conformality Condition）为

光滑余因子的方法可以研究任意剖分下的多元样条函数空间.多元样条的一些问题，例如维数问题，最终可归结为对协调条件的研究.特别地，对于一种较为实用的剖分，贯穿剖分（用有限条直线对区域D进行的剖分称为贯穿剖分），利用上述方法，能较容易地得到该剖分下样条空间的维数与基底：

且空间中的任意元素可表示为

此处，E为剖分中直线数目，V为内网点数目，当m≥0，η（m）=（m+2）（m+1），否则η（m）=0.文献[18]中，王仁宏详细介绍了光滑余因子方法的应用，包括1型、2型三角剖分上的维数与基底，任意三角剖分下的维数等.