我是一位数学家，达到这样的程度：我能领会三重积分，如果这些积分由本人的一位朋友在大黑板上慢慢演算。
——J·W·麦克雷诺兹[2]
在一个多层综合楼安排会见某人，如果你要确保在相同时间和地点会见，你需要给他们四条信息。你必须具体说明你要会见的时间、楼层和在该楼层两个相交的走道：一条时间信息和三条空间信息。少了任何一条，你可能会见不到人；增加其中更多的信息将成为累赘。这些数字表明我们生活在一个宇宙中，它有一维的时间和三维的空间。科幻小说的作家们通过设想有关额外的维度描绘了一种美妙的生活，这额外的维度能使我们在三维世界做出魔术般的事，在可视世界溜进溜出。在19世纪有个出名的行骗高手，他宣称有通道去其他维的空间，所以他能完成“不可能的”事迹：解开绳环的结，将左螺旋形的东西变成右螺旋形的，将物体从球形玻璃容器内无须穿过球表面移到球外。
为了看清楚怎样步入第四维也许可以帮助你实施这些技巧，考虑从二维跳进三维的情形。将一个由绳子围成的圆环平放在桌子上，中间围着一块糖。不碰到绳子，这个糖块就无法移出绳环，如果要始终保持糖块与桌子的平坦的二维表面接触。但如果糖块能通过空间的第三维，这件事就容易做到。只要将糖块升高，并在绳子圆圈外面再把它放下来。类似的情况是，如果你将右螺旋形线圈平放在桌子上，就无法靠它在桌子顶面的二维世界四处移动，使它变成左螺旋形的线圈。但是如果我们举起线圈进入第三维并把它翻转，然后就可能改变螺旋形的旋向性（见图10.1）。尽管这种奇思怪想涉及看不见的物质和精神的王国，但18和19世纪的科学家很少有动机去思考空间的维数。惟有一位思想深邃的思考者似乎已看出空间的维数与大自然的定律形式以及出现于此范围中的常数之间存在着深刻的联系。
图10.1 通过空间第三维转动绳环，改变平展的螺旋形的旋向性。
伟大的德国哲学家伊曼努尔·康德在其早年生活于哥尼斯堡期间，对科学的兴趣远超过对哲学（见图10.2）。他是牛顿和他的引力和运动定律的伟大仰慕者。他刻苦努力，理解这些定律并把它们应用于天文学的一些大问题，如太阳系的起源。当康德沉思于牛顿的引力定律的特殊形式的意义时，他向自己提出一个以前从未有人提出过的问题： [3]“为什么空间是三维的？”
康德已注意到一件很深刻的事情：牛顿的著名的平方反比的引力定律[4]与空间是三维的这一事实有紧密联系。如果空间有四维，那么引力就与距离的立方呈反比关系，如果空间有100维，那么就与距离的99次方呈反比关系。一般说来，一个N维的世界[5]，其引力将随距离的（N-1）次方下降。[6]根据同样的意思，作为这些定律中的比例常数而出现的大自然的常数将会有一个一部分由空间维数确定的数值。(www.xing528.com)
图10.2 伊曼努尔·康德（1724—1804）。[7]
康德用这样的观测结果向自己“证明”，由于有牛顿的平方反比的引力定律存在，空间必定是三维的。他提出，如果上帝曾选择引力定律为距离的立方反比，而不是平方反比。那么，结果应是宇宙具有不同的维度——四维。今天我们应认为这说法变成回到前面的妙语：正是空间的三维性质解释了为什么我们看到的是大自然的平方反比的引力定律，而不是倒过来。
康德的见解第一次表明，空间的维数和大自然的诸定律的形式以及大自然的常数之间有联系，而这些常数寓于它们（空间及定律形式）中间。
康德继续思索与空间额外的维度有关的神学的和几何学的方面，并且看到也许有可能用数学方法来研究这些假设的空间的特性。
关于所有这些可能类型的空间的科学无疑会是最崇高的事业，对它的有限的理解可在几何学的领域内进行……如果有可能存在其他维度的区域，那很可能就是上帝在某个地方将它们变成为存在。这类更高维的空间不属于我们的世界，但形成独立的世界。[8]
他的推测是正确的。在19世纪，数学家们“发现了”描述曲面上的线和图形的其他几何学。[9]幸运的是他们做到了。它保证了爱因斯坦在1905年和1915年发展他的关于引力的新理论，即广义相对论时有这种“纯粹的”数学可供应用。
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