普通物理学知识结构分析：统计分布律

3.4.1 结构图

分为两个方面讨论:

①气体分子按速率或速度分布的运动情况;

3.4.2 按运动分布

1.麦克斯韦速率分布律

(1)单个分子运动的速度大小和速度方向完全是偶然的,但是大量分子的整体速度却遵从一定的统计规律。

(2)速率分布函数:显示分子速率(速度大小)与分子数之间的关系。

式中,N为一定量的分子总数;dN为速率在(v+Δv)区间内的分子数;dN/N为分布在这一区间内分子数占总分子数的比率。

归一化条件是速率分布函数f(v)必须满足的条件:

即:速率在0～∞的整个区间内的分子数应等于总分子数。

(3)麦克斯韦速率分布律:

①反映了大量分子的整体速度大小的分布情况。

式中,T为气体热力学温度;k为玻尔兹曼常数;m为分子质量。

②速率分布曲线如图3-1所示。

图3-1 速率分布曲线

③同一种气体分子的三种统计平均值如下。

算术平均速率:

(www.xing528.com)

三种统计平均值的关系是:它们都是气体温度的函数,但是各有不同的用途。

2.麦克斯韦速度分布律

反映了大量分子的整体速度大小和速度方向的分布情况。

速率分布律和速度分布律的区别:速率分布律需要乘以4π·v2。

3.4.3 按能量分布:玻尔兹曼能量分布律

1.麦克斯韦速度分布律考虑的是分子不受外力影响时的运动情况。

分布律中仅包含分子的平动动能:εk=mv2

2.玻尔兹曼分布律考虑的是分子在保守力场(如重力场)中的运动情况。总能量包括平动动能和势能:

3.玻尔兹曼能量分布律:

式中:n0表示势能=0时单位体积内所含各种速度的分子总数;指数项e-(ε-/kT)称玻尔兹曼因子。

说明:玻尔兹曼能量分布律是一个普遍规律,对任何物质的微粒在任何保守力场(重力场、电场)中运动的情况都成立。

4.根据玻尔兹曼能量分布律可以得到以下公式。

(1)重力场中的分子数密度公式

式中:n0和n分别是z=0和z=z时的分子数密度。

在重力场中,气体的分子数密度随高度的增加按指数规律减小。

(2)重力场中的等温气压公式

式中,p0表示在z=0的压强。

测定大气压强的变化,可以估算所处的高度。