质点力学：普通物理学知识结构分析

2.2.1 结构图

2.2.2 静力学

牛顿运动定律告诉我们:当物体没有受到外力的作用时,将处于静止状态或匀速直线运动状态。实际上,这样的运动状态是不存在的,它仅仅是一种理想状态。但是,这种理想状态对我们的理论研究具有奠基性的意义。

在实际生活中,任何物体都受到外力的作用,当这些外力的合力等于零时,即ΣF=0,物体也处于静止状态或匀速直线运动状态。这样的运动状态可以看作运动物体的一个特例,这就是静力学的内容,具体内容留待理论力学等学科深入研究。

2.2.3 运动学

1.结构图

2.知识要点

(1)运动学

运动学研究物体在运动过程中的位置与时间之间的变化关系,不研究发生这种变化的原因。

运动学的全部内容,可以概述为以下两类。

图2-1 几何直角坐标系

在研究物体运动时,首先要引入物体运动的依据,即参照系,一般选用固定在地面上的房屋和树木。然后,又引入用来定量描述物体运动的坐标系,一般选用几何学中的直角坐标系(x,y,z),如图2-1所示。

在研究物体运动时,如果物体的形状和大小与我们研究的问题无关,或关系很小,我们就可以把它们忽略不计,把这个物体看作一个质点,如图2-2所示。显然,这是一种理想模型,便于我们研究物体的基本运动规律,这就形成了质点力学。

图2-2 将物体看作质点

根据质点运动的轨迹,可以分为直线运动和曲线运动。直线运动是最普通的运动。当Δt→0时,曲线运动中的质点运动可以看成是无数直线运动的合成,也就是说,直线运动与曲线运动的本质是相同的。

(2)直线运动

直线运动分为理想状态下的匀速直线运动和一般情况下的变速直线运动。综合两者,又引入匀变速直线运动,再进一步引入更符合实际情况的任意变速直线运动。

①匀速直线运动

时间t是标量,路程s也是标量,即:有大小,而方向仅有相同或相反。

因此,它们的计算只有简单的加法和减法。

速度v是矢量,加速度a也是矢量,即:既有大小,又有不同的方向。

加速度可以反映一个质点同时参与两种直线运动的速度变化。

例如:有一艘被西南风(a)吹刮而向东(b)直线航行的货船,另有一艘被东南风(d)吹刮而向东(e)直线航行的客船。那么,这里的计算就不能简单地运用加法和减法,我们需要运用几何学中的四边形法则或三角形法则进行矢量的加法和减法(如图2-3、图2-4所示),可以同时得到两船航行速度的大小和方向。

图2-3 矢量的加法

图2-4 矢量的减法

既然两个速度或加速度可以通过合成获得一个速度或加速度,同样可以通过分解获得一个速度或加速度的两个分量,如图25和图26所示,这是不难理解的。

图2-5 矢量加法分解

图2-6 矢量减法分解

此外,我们还可以通过数学中的解析法获得速度或加速度的合成,计算示例如图2-7所示。

图2-7 合成示例

(3)曲线运动

由于物体的运动方向始终在改变,因此物体的实际运动轨迹(AB)和实际位移(Δs)是不同的。

当Δt→0时,曲线运动可以看成是由无穷多且无限短的直线运动组成的。

图2-8 物体的曲线运动

①瞬时速度:

瞬时速度的数值:

瞬时速度的方向:质点所在曲线处(B)的切线方向为运动方向。

②瞬时加速度:

瞬时加速度的数值:

瞬时加速度的方向:

图2-9 曲线运动中的瞬时速度方向

图2-10 曲线运动中瞬时加速度方向

一般情况下,任一时刻的加速度方向与速度的方向不在一条直线上。加速度a可以分解为切向加速度at和法向加速度an。切向加速度at反映加速度的数值变化,法向加速度an反映加速度的方向变化。

③其他曲率圆、曲率中心、曲率半径和曲率。

曲线运动的知识点还包括抛物运动是曲线运动中比较常见的一种重要形式,具有一定的实际意义。

2.2.4 动力学

1.结构图

2.知识要点

(1)动力学

动力学是研究物体的运动状态与物体之间相互作用的内在联系的科学。

动力学是质点力学的主要部分。简单来说,动力学与运动学的最大区别是,运动学只研究运动,而动力学要研究力和运动。

(2)力

力是物体之间的相互作用。力不是物体运动的原因,而是改变物体运动状态的原因,也是改变物体形状的原因。

(3)牛顿三大定律

动力学中力的基本规律是牛顿三大定律。

①牛顿第一定律

任何物体在没有受到外力作用的时候,都保持静止状态或匀速直线运动状态。物体的这种性质叫惯性,所以牛顿第一运动定律又叫惯性定律。实际上,牛顿第一定律描述的是一种理想状态,不受外力作用的物体是不存在的,应该理解为任何物体所受的合外力为零时,将保持静止状态或匀速直线运动状态。

其基本方程为:

ΣF=0

②牛顿第二定律

物体在受到外力作用时,所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比,与物体的质量成反比,加速度的方向与合外力的方向相同。其基本方程为:

ΣF=maΣFx=max ΣFy=may ΣFz=mazΣFt=mat ΣFn=man

牛顿第二运动定律是动力学的重点,确定了力、质量和加速度之间的关系。

当物体做直线运动时,由于加速度是一个矢量,如果用直角坐标系来表示ΣF=ma,其将分解为:

当物体做曲线运动时,ΣF=ma将分解为:

式中,ΣFt为切向力,决定曲线运动物体速率(加速度数值)变化得快慢;ΣFn为法向力或向心力,决定物体运动方向变化得快慢。

图2-11 作用力与反作用力

③牛顿第三定律

物体相互之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反,如图2-11所示。其基本方程为:

F=-F'

图2-11中,物体A以力F作用在物体B上时,物体B也必定同时以力F'作用在物体A上。F和F'在一条直线上,大小相等,方向相反。

特别提示:F和F'永远同时存在;永远大小相等;永远同时作用在两个不同的物体上,不会抵消。

图2-12 弹性力示意图

(4)力的分类

我们常见的力有三种:弹性力、摩擦力和万有引力。

①弹性力:产生在直接接触的物体之间,是一种普遍存在的力。

例如,如图2-12所示,一根绳子系住重物A,绳子被拉长后发生形变,会产生一个竖直向上的弹性力f作用在重物上。

②摩擦力:产生在直接接触的物体之间,也是一种普遍存在的力。

例如,如图2-13所示,一只箱子A放在地面B上,当箱子在外力F作用下与地面发生相对运动或有相对运动的趋势时,两者之间都会产生摩擦力f,这个力的方向永远沿着接触面的切线方向,而且阻碍相对运动发生。

③万有引力:牛顿在开普勒总结的行星运动规律的基础上,做了进一步的研究,发现了万有引力:任何两个物体之间都存在相互作用的引力,力的方向沿两个物体的连线方向,力的大小与两个物体质量的乘积成正比,与两者之间距离的平方成反比,如图2-14所示。

图2-13中,物体受外力作用后有运动趋势但还没有运动,此时产生的摩擦力称为静摩擦力;当静摩擦力达到最大时物体将开始运动,此时的摩擦力称为最大静摩擦力fmax。一旦物体之间产生相对滑动,此时的摩擦力称为滑动摩擦力,f=μN(摩擦系数×正压力)。

图2-13 摩擦力

图2-14 万有引力图示

其方程为:

式中,G为引力恒量,G=6.670×10-11N·m2/kg2,1789年,卡文迪许的实验比较准确地测定了G的数值。

说明:上述方程只有对质点才是适用的,即两个物体的大小比它们的距离小得多。所有的星体都满足上述要求。

(a)第一宇宙速度:由于万有引力的存在,在地面发射的人造星体离开地面后能绕地球运动所需的最小速度。

式中,M为地球质量;R为地球半径。

(b)第二宇宙速度:物体升空后要脱离地球引力范围所必须具有的最小速度。

(c)第三宇宙速度:物体升空后不但能够脱离地球引力而且能够脱离太阳引力所需的最小速度。

(d)重力:由于地球的质量十分巨大,所以所有生活在地球表面的人及物体与地球之间都存在万有引力,受力的方向指向地心,这个力的大小就是人和物体受到的重力,P=mg。

(5)运动的参照系

在开始研究物体运动时,我们引入了物体运动的参照系。但是,在动力学中我们不能任意选用参照系。

例如,如图2-15所示,物体A静止在地面上,如果以地面为参照系,物体A是静止的,如果以加速度为a的飞鸟为参照系,物体A显然是以加速度-a运动的。(https://www.xing528.com)

图2-15

牛顿定律规定的参照系被称为惯性参照系。在一般情况下,经典力学中的牛顿定律都是以地面(地球的表面)作为参照系的。

(6)力学的相对性原理

例如:甲坐在船舱里,船在匀速直线前进,甲以船为参照系,就无法判断自己是否在运动。当甲在船上向上跳起后再落下,甲并没有随船向前运动,却仍然落在原来跳起的位置,显然,此时并没有向前的力对甲作用。

同样,船舱里的一个苍蝇可以毫不费力地随运动的船一起向前运动。这说明对于一个相对于惯性参照系做匀速直线运动的系统,其内部所发生的一切力学过程,都不受将系统作为整体的匀速直线运动的影响。这也称为伽利略相对性原理。

这样就产生一个问题:如果选用不同的参照系,如何来描述同一个物体的同一种运动状态。这就产生了坐标变换的问题,为此,我们引入伽利略坐标变换。

随着科学的发展,人们对客观世界的认识越来越深刻,空间不是绝对的,时间也不是绝对的,在不同的参照系中,空间和时间都是不同的。中国民间有一段传说:某人在山中看两位神仙下棋,一局战罢,不觉人间已过千年。

(7)非惯性参照系

在非惯性参照系中,现在我们引入惯性力,是为了在非惯性参照系中仍然能够运用牛顿力学的基本定律。

图2-16

①

如图2-16所示,静止的车厢内有一个小球A静止在一块平板上。当车厢以加速度a向右运动时,车厢内的小球也以加速度a向右运动。但是,从站在地面上的人看来,小球相对于平板仍然是静止的,因为平板是光滑的,小球在水平方向上没有受到力的作用。

如果一个在车厢中的人以车厢作为参照系,那么小球是静止的。实际上小球相对于地面以加速度a向右运动,车厢中的人假想有一个力f作用在小球上,使小球以-a加速度运动,以使小球保持静止,这个力的大小为f=-ma。这个假想的力f被称为惯性力。

在惯性参照系中,小球在水平方向上没有受到力的作用,但是,在非惯性参照系中,小球却受到了所谓惯性力f的作用,通过这种假想,在非惯性参照系中我们仍然可以运用牛顿定律。

图2-17

②

如图2-17所示,一个圆盘以匀角速度ω转动,一个质量为m的小球通过长为R的绳子与圆盘转轴相连。在盘外的观察者看来,小球m以角速度ω随圆盘一起转动,绳子给小球以拉力即向心力,大小为F=mRω2。如果以圆盘为参照系,小球是静止的,绳子虽然给小球以拉力F,但是小球并没有向轴心运动,显然还存在一个力f作用在小球上,这个力f与F大小相等、方向相反,这个实际上并不存在的力f就是惯性力,通常称为惯性离心力。

③

根据例2,一个相对于做匀角速度转动参照系静止的物体,从处于转动参照系中的观察者看来,这个物体要受到惯性离心力的作用。

那么,一个相对于做匀角速度转动参照系运动的物体,从处于转动参照系中的观察者看来,这个物体除了受到惯性离心力的作用,还受到另外一个惯性力的作用,这个惯性力被称为科里奥利力,这个力f与做匀速直线运动的物体受到的力F大小相等、方向相反。

现在,我们总结一下:我们连续引入了三个假想的惯性力、惯性离心力和科里奥利力,目的只有一个——在不同的非惯性参照系中同样可以运用牛顿定律。

(8)动量和冲量

从实际作用的角度看,牛顿第一定律和牛顿第三定律都可以看成是牛顿第二定律的补充,因此,动力学中研究的大量问题都是从牛顿第二定律出发的。

①动量K

动量K由物体质量m与速度v的乘积求得,是物体运动时具有的量度。

式中,K是矢量,K的方向与速度方向相同。

②冲量I

冲量I由作用在物体上的力F与力的作用时间t的乘积求得。

恒力的冲量:

I=F·Δt

变力的冲量:

③动量定理

一个物体的动量定理:

上式表明,物体动量的增量(等式左端)等于在这段时间内物体所受外力的冲量(等式右端)。

系统的动量定理:

上式表明,系统动量的总增量(等式左端)等于在这段时间内系统所受合外力的冲量(等式右端)。

综上所述,动量定理充分反映了冲量是力的作用通过时间积累所产生的效应,即物体动量的增量。简言之,一个力持续作用在一个物体上,物体的速度会越来越快。这个力与全部时间的乘积就是冲量,这个以越来越快的速度运动的物体就具有不同的动量。或者说,冲量等于变化的动量。

牛顿第二定律说明:在力的瞬时作用下,物体的动量将如何变化。动量定理说明:在力的持续作用下,物体的动量究竟改变了多少。

④动量守恒定律

在合外力为零的情况下,即:ΣF=0时,系统的总动量保持不变(但系统内部的各个动量可能不断变化)。

即:m1v1+m2v2+……+mnvn=恒量

例如:喷气火箭喷出的燃烧气体具有巨大的动量,根据动量守恒定律,火箭会获得数值相等、大小相反的动量,连续发生反冲现象。气体不断喷出,火箭质量越来越小,速度越来越快;气体燃尽,火箭达到最大速度:v=-uln(M/M0)。

(9)功和功率

①功

功由沿物体位移方向持续作用在物体上的力F与力的作用点的位移s的大小的乘积求得。

恒力对直线运动的物体做功如下所示。

A=FS·cosα

式中,功是标量,即只有数值,没有方向。功有正负,由力F与位移s之间的夹角α决定。

变力对曲线运动的物体做功如下所示。

图2-18 恒力对直线运动物体做功

图2-19 变力对曲线运动物体做功

图2-19中,一个物体在变力F作用下移动一段距离s。现在任意取一小段可看成直线的位移Δsi,方向沿曲线的切线方向,受到这一小段上的恒力Fi的作用,两者的夹角为αi。它所做的功为:

式中,Fit表示Fi·cosαi的切线分量;ΔAi是力在位移Δsi上的元功。

当Δs趋于零时:

合力对物体做功等于各分力在同一路程上的功的代数和。

冲量(Ft)即力的时间积累,它的效应是物体动量的变化。

功(Fs)即力的空间积累,它的效应是物体能量的变化。

②功率:表示做功的快慢。

平均功率:

瞬时功率:

式中,当物体的运动状态变化时,合外力所做的功仅由物体的初、末两个运动状态决定,与物体运动的路径无关。

图2-20 物体的重力做功

式中,动能是标量,与方向无关。

动能定理:Ek-Ek0=A

式中,物体的动能增量等于合外力所做的功。

②势能

首先分析重力做功,如图2-20所示,图中质量为m的物体在重力P的作用下,经ac点运动到b点。

重力做功:A=mgh1-mgh2

重力势能:Ep=mgh

显然,重力做功仅与物体运动的起点和终点有关,与运动路径无关。如果物体由起点出发,经任意路径返回重力做功为零。

图2-21 弹性力做功

再分析弹性力做功,如图2-21所示,图中固定在弹,簧右端的质量为m的物体,在外力的作用下从O点被向右拉长至A点,物体在弹性力F的作用下向左回到B点。OA的距离为s0,OB的距离为s。

同样,弹性力做功仅与物体运动的起点和终点有关,与运动路径无关。如果物体由起点出发,经任意路径返回,弹性力做功为零。

(11)保守力和耗散力

上述的重力和弹性力有一个共同特点:做的功与路径无关。另外,弹性力还有压力、支撑力、张力、拉力、推力等多种形式。重力、弹性力和万有引力都被称为保守力。

摩擦力、阻力、冲力和磁力等,它们做的功不但由运动物体的起点和终点决定,而且也取决于物体运动的路径,这些力被称为耗散力。

(12)功和能

①在一个系统中,如果各物体之间相对位置发生变化,我们引入物理量Ep,称为物体系统的势能,它包括重力势能和弹性势能。

②机械能:包括动能、势能(重力势能和弹性势能)。

E=Ek+Ep

③重力做功反映了两个重力势能的差。弹性力做功反映了两个弹性势能的差。这样,我们就把功和势能联系起来了。同样,运动物体做功,反映了运动物体的动能变化,这就把功和动能联系起来了。

总而言之,做功就是动能或势能发生变化,是能量的释放。做功既反映动能的差,又反映势能的差。

④功能原理

E-E0=A外力+A耗散力

式中,系统内的机械能增量等于外力的功和内力耗散力的功之和。(13)机械能守恒定律

在系统内,当外力和耗散力都不做功时:

Ek+Ep=恒量

(14)能量守恒和转化定律

能量既不能消失,也不能创造,它只能从一种形式转换为另一种形式。这是整个自然界都遵从的普遍规律。

(15)碰撞

碰撞是一个非常典型的关于功能原理、机械能守恒定律、能量守恒和转化定律的实例。运动物体相遇后,在极短的时间内相互作用,各自的运动状态发生变化,这个过程称为碰撞。这种现象在生活中大量存在,例如锻铁、打桩和汽车追尾等。

我们现在仅讨论最普通的两球正碰,即:两球在碰撞前或碰撞后,它们的速度和相互作用的冲力都在两球的中心连线上。

①完全弹性碰撞:机械能完全没有损失,如图2-22所示。

图2-22 完全弹性碰撞

碰撞前后的总动能相等:

②完全非弹性碰撞:ΔE为部分损失的机械能(如物体发热)。

③非完全弹性碰撞:两物体在碰撞后以同一速度运动,并不分开。ΔE为部分损失的机械能。

式中,e为恢复系数。