湍流燃烧PDF输运方程模型

用PDF方法研究湍流燃烧问题已有二十多年的历史。和关联矩模型类似，PDF输运方程模型对于速度和反应标量的模拟也是属于单点统计范畴。但是，在PDF输运方程模型中，这些方程所代表的是对湍流反应流的一般统计描述，它们可以用于预混、扩散以及部分燃烧。

速度分量v 和反应标量ψ 的联合概率密度函数（PDF）是P（v，ψ；x，t），因此在时间t的空间点x上找到速度分量v在区间v-dv/2<v<v+dv/2，反应标量ψ在区间内的概率为P（v，ψ；x，t）dvdψ，概率密度函数P（v，ψ；x，t）的输运方程可以通过不同的方法推导出来。依据概率和统计理论可以严格建立湍流燃烧系统中变量的联合概率密度函数的输运方程。Pope 在1985年对PDF 输运方程模型进行了很有价值的总结。本章节介绍Pope（1985）（2000）提出的方法。用守恒形式表达对流项的概率密度函数P（v，ψ；x，t）的输运方程为

式中，∇v代表仅对速度分量求散度，代表在固定的v和ψ下对X求均值。式（13．73）等号左边的第一项和第二项分别代表P（v，ψ；x，t）在物理空间的局部变化率和对流，第三项代表重力和压力梯度在速度空间的输运，最后一项包含化学反应源项。由于这些项都是物理空间的局部变化，建立在确定标量和矢量的联合概率密度函数之上，因此这些项都是封闭的，无须模拟。式（13．73）等号右边的第一项代表黏性应力和压力梯度的波动导致的PDF 在速度空间的输运，第二项代表分子混合导致的PDF 在反应变量空间的输运。由于式（13．73）等号右边的两项都包含有概率密度函数无法封闭的压力脉动梯度项以及分子黏性和分子扩散引起的PDF的分子输运项，这些都需要引入模型加以封闭。因此，该方法在有限反应速率的燃烧过程和考虑详细反应动力学（如污染物生成问题）中具有很强的优势。(www.xing528.com)

联合概率密度函数的输运方程是难以用有限容积、有限差分和有限元等方法来求解的，所以概率密度函数输运方程模型在湍流反应流中的实质性应用是从1981年Pope 采用Monte-Carlo法求解PDF输运方程开始的。此数值计算方法最大的优势在于：它的计算量只是与求解问题的维数成线性增加，而其他的方法则大约是成指数方式增加。在该方法中，动量和标量的输运方程被转化为Lagrangian 方程；概率密度函数并不是被直接求解出来的。Monte-Carlo法主要的缺点就是：统计误差随着每个网格中样本点的增加而消减得比较缓慢。因而使得网格中的样本数非常大，对于复杂机理的有限反应速率的化学反应流或者工业CFD问题，这种数值方法会导致巨大甚至无法实现的计算量。总之，最近十多年来，PDF 方法在模型建立、封闭和数值方法方面均取得了很大的进展和一些成功的运用。由于PDF模型方程是严格推导出来的，理论上很坚实，而且化学反应源项没有封闭问题，因此PDF方法是目前研究有限反应速率和熄火等湍流燃烧问题的最合适和最理想的方法，但联合概率密度函数求解的复杂性和计算量之大使其在工程中的应用带来了很大的困难。