中文版UGNX12的有限元法计算

有限元法（Finite Element Method，FEM）是随着计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，是一种求解关于场问题的一系列偏微分方程的数值方法。

在机械工程中，有限元法已经作为一种常用方法被广泛使用。凡是计算零部件的应力、变形和进行动态响应计算及稳定性分析等都可用有限元法。例如，进行齿轮、轴、滚动轴承及箱体的应力、变形计算和动态响应计算，分析滑动轴承中的润滑问题，焊接中残余应力及金属成型中的变形分析等。

有限元法的计算步骤可归纳为以下三个基本步骤：网格划分、单元分析、整体分析。

1.网格划分

有限元法的基本做法是用有限个单元体的集合来代替原有的连续体。因此首先要对弹性体进行必要的简化，再将弹性体划分为有限个单元组成的离散体。单元之间通过节点相连接。由节点、节点连线和单元构成的集合称为网格。

通常把三维实体划分成四面体（4节点）或六面体单元（8节点）的实体网格，如图9-1所示。平面问题划分成三角形或四边形单元的面网格，如图9-2所示。

图9-1 实体网格与单元

图9-2 平面网格单元

2.单元分析

对于弹性力学问题，单元分析就是建立各个单元的节点位移和节点力之间的关系式。

由于将单元的节点位移作为基本变量，进行单元分析首先要为单元内部的位移确定一个近似表达式，然后计算单元的应变、应力，再建立单元中节点力与节点位移的关系式。

以平面三角形3节点单元为例，如图9-3所示，单元有三个节点I、J、M，每个节点有两个位移u、v和两个节点力U、V。

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图9-3 三角形3节点单元

单元的所有节点位移、节点力，可以表示为节点位移向量（vector）：

单元的节点位移和节点力之间的关系用张量（tensor）来表示：

{F}^e=[K]^e{δ}^e

3.整体分析

对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点外载荷与节点位移的关系，以解出节点位移，这个过程称为整体分析。同样以弹性力学的平面问题为例，如图9-4所示，在边界节点i上受到集中力P_xⁱ，P_yⁱ作用。节点i是三个单元的结合点，因此要把这三个单元在同一节点上的节点力汇集在一起建立平衡方程。

i节点的节点力：

i节点的平衡方程：

图9-4 整体分析