回归方程的线性显著性检验简介

在模型（6.1.2）的假定中，我们假定y关于x的回归E（y|x）具有a+bx的线性形式。回归函数E（y|x）是否为线性函数，一般有两种方法来进行判断。一种方法是根据相关领域的专业知识或以往经验来判断，另一种方法是在无法用第一种方法判断的情况下根据实际观测数据，利用假设检验的方法来判断。在6.2节的讨论中，不难看出，在拟合回归直线的实际计算中，并不需要对变量作任何假定，即对任意n对数据，均可利用式（6.2.4）求出回归方程，即可拟合一条直线以表示x和y之间的关系，那么这条直线是否具有实用价值？或者说，x和y之间是否具有明显的线性关系？本节将利用假设检验的方法来加以判断，即检验假设：

不难看出，若线性关系显著，则b不应为零，因为若b=0，则y就不依赖于x了。因此检验假设（6.3.1）等价于检验假设

为此，考察n个y的观测值y1，y2，…，yn的总离差平方和的分解：

因为交叉项

由正规方程（6.2.3）得交叉项为零，于是

图6.3.1所示为三种差的关系示意图。

图6.3.1　三种差的关系示意图

令

则

其中，S2R称之为回归平方和，S2e称之为残差平方和。若b=0，则回归直线就变成和直线重合，此时S2R应为零。因此，S2R表示由于x的变化而引起的y的变化，它反映了y的变差中由y随x作线性变化的部分。S2R在Syy中的比例愈大，表明x对y的线性影响愈大，即y对x的线性关系愈显著。若y完全由x确定，则给定x=xi时，y的观测值yi应等于其回归值，S2e应为零。因此S2e是除x对y的线性影响外的一切随机因素所引起的y的变差部分。若S2e在Syy中的比例愈大，则S2R在Syy中的比例愈小，这表明由x的变化而引起的y的线性变化部分淹没在由于随机因素引起的y的变化中，这时y对x的线性关系就不显著，回归方程也就失去了实际意义。因此，可利用比值

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作为检验假设（6.3.2）的检验统计量。当F值较大时，拒绝原假设H0；反之，当F值较小时，不能拒绝H0。可以证明：

（1）且S2e与S2R相互独立；

（2）当H0成立时，

于是，当H0成立时，

给定显著性水平α，当F＞F1-α（1，n-2）时拒绝H0，即认为y对x的线性关系显著；反之，认为y对x的线性关系不显著。以上检验过程可归纳成方差分析表6.3.1。

表6.3.1　一元线性回归的方差分析表

Syy、S2R、S2e通常按下式计算：

例6.3.1 给定显著性水平α=0.05，试检验例6.2.1中的回归方程（6.2.8）的线性效果是否显著。

解 由式（6.3.8）～式（6.3.10），经计算得方差分析表6.3.2。

表6.3.2　成本对产量回归的方差分析表

查表得F0.95（1，28）=4.20＜484.767，因此，拒绝H0，认为当显著性水平α=0.05时，式（6.2.8）的回归方程线性显著。

基于R的求解方法之一如下：（续例6.2.1）