双因素无重复试验的方差分析

通过前面的讨论，若交互作用存在，则对于每一试验条件（Ai，Bj），必须做重复试验，只有这样，才能将交互效应平方和从总的离差平方和中分解出来。在实际中，如果我们已经知道不存在交互作用，或已知交互作用对试验结果的影响很小，则可以不考虑交互作用。这时不必做重复试验，对于两个因素的每一组合（Ai，Bj）只做一次试验，所得结果如表5.2.5所示。

表5.2.5　双因素无重复试验的数据资料表

双因素无重复试验的方差分析数据由于不存在交互作用，无重复试验，则

r=1,γij=0 i=1,2,…,p j=1,2,…,q

于是模型可写成

根据这一模型，我们要检验以下两个假设：

相应的方差分析如表5.2.6所示。

表5.2.6　双因素无重复试验的方差分析表

表中

其中

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取显著性水平α，当FA＞F1-α（p-1，（p-1）q-1））时，拒绝H01；当FB＞F1-α（p-1，（p-1）（q-1））时，拒绝H02。

例5.2.3 在一个小麦农业试验中，考虑4种不同的品种和3种不同的施肥方法，小麦产量数据如表5.2.7所示。试在水平α=0.05下，检验小麦品种和施肥方法对小麦产量是否存在显著影响。

表5.2.7　小麦产量（单位：千克/亩）

利用式（5.2.22）～式（5.2.25）计算得方差分析表5.2.8。查表得F0.95（2，6）=5.14，F0.95（3，6）=4.76，从而在α=0.05下，施肥方法对小麦产量无显著影响，但小麦品种对产量有显著影响。

表5.2.8　4种不同品种和3种不同施肥方法下的方差分析表

从前面的分析可以看出，对于两因素试验，在每个试验条件下做重复试验，其试验次数已经很多，且方差分析的计算量已显过大，那么对于三因素或更多因素的试验，若作全面试验（即每个试验条件下均做试验），则相应的试验次数和计算量会成指数速度递增。

例如，一个试验中涉及4个因素A，B，C，D，分别有p，q，r，s个水平，每个试验条件下重复做t次试验，则共需要做pqrst次试验，这样试验次数往往太多，实施起来不太现实。因此，在实用中，一般只做部分实施，即在pqrs个试验条件中选出一部分试验条件，然后在这一部分试验条件下做试验。当然，这一部分条件不是任意选取的，它们必须满足以下三个条件：

（1）它们具有一定的代表性；

（2）根据这些试验数据能够估计出模型中的所有参数；

（3）总的离差平方和能够进行相应的分解。

基于R的求解方法之一如下：

从p值可以看出施肥方法作用不显著，而品种的作用是显著的。

至于如何选取试验条件，这是试验设计的内容，如正交设计、均匀设计等，其细节已远超出本书的范围，在此不再赘述。