R实现的双因素等重复试验方差分析-数理统计学

例5.2.1 某工序给零件镀银，测试了三种不同配方在两种工艺下镀上银层的厚度，在每个试验条件下进行了两次试验，数据如表5.2.1所示。

表5.2.1　银层的厚度（单位：μm）数据

这里有两个因素，一个因素是配方，另一个因素是工艺。它们两者同时影响着银层厚度。由于存在两个因素，因此，除了要分别考察每个因素对银层厚度的影响外，还要研究不同配方和不同工艺对银层厚度的联合影响是否正好是它们每个因素分别对银层厚度的影响的迭加。例如，当不考虑随机因素的干扰时，如果将配方固定为A1，采用工艺乙比采用工艺甲时银层的厚度薄1μm；如果将工艺固定为工艺甲，采用配方A3比采用配方A1时银层的厚度薄2μm，那么采用配方A3、工艺乙时银层的厚度并非比采用配方A1、工艺甲时银层的厚度要薄1+2=3μm。也就是说，是否产生这样的情况，即分别使银层厚度达到最薄的配方与工艺搭配在一起可能会使银层厚度大大增加，而看起来单独来说不是最优的配方和工艺搭配在一起，由于搭配得当而使银层厚度大大变薄。这种由于各个因素的不同水平的搭配所产生的新的影响称之为交互作用。这是多因素试验方差分析不同于单因素试验之处。

一般地，设影响试验结果的两个因素为A和B，因素A有p个水平A1，A2，…，Ap，因素B有q个水平B1，B2，…，Bq，在每一试验条件（Ai，Bj）下均做了r次重复试验，得到表5.2.2所示的结果。表中每组数据｛xij1，xij2，…，xijr｝可认为是来自同一总体的样本，假定

表5.2.2　双因素等重复试验的方差分析数据

xijk可写成xijk=μij+εijk，其中εijk～N（0，σ2），令

称μ为总平均，αi为水平Ai的效应，βj为水平Bj的效应，γij为水平Ai和Bj的交互效应。易见

于是双因素试验的方差分析模型可写为

对这一模型，要分别检验因素A、因素B、因素A与B的交互作用对试验结果是否有显著影响，即检验以下三个假设：

为此需分别建立检验统计量，记

则总的离差平方和

称SSE、SSA、SSB、SSA×B分别为误差平方和、因素A的效应平方和、因素B的效应平方和、A与B的交互效应平方和。

在模型（5.2.2）的假定下，可以证明如下结论：

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构造检验统计量

其中，pqr-1，pq（r-1），p-1，q-1，（p-1）（q-1）分别是SST，SSE，SSA，SSB，SSA×B的自由度。

可以证明：当假设H01成立时SSA/σ2～χ2（p-1），且与SSE独立，所以FA～F（p-1，pq（r-1））。当假设H02成立时，SSB/σ2～χ2（q-1）且与SSE独立，所以FB～F（q-1，pq（r-1））。当假设H03成立时，SSA×B/σ2～χ2（（p-1）（q-1））且与SSE独立，所以FA×B～F（（p-1）（q-1），pq（r-1））。

取显著性水平α，

·当FA＞F1-α（p-1，pq（r-1））时，拒绝H01；

·当FB＞F1-α（p-1，pq（r-1））时，拒绝H02；

·当FA×B＞F1-α（p-1，pq（r-1））时，拒绝F。

上述结果可汇总成方差分析表5.2.3。

表5.2.3　方差分析表

实际计算中，可按下式计算各个平方和：

例5.2.2 在例5.2.1中，假定双因素方差分析所需的条件均满足，试在水平α=0.05下，检验不同配方（因素A）、不同工艺（因素B）下的银层厚度是否有显著差异；配方和工艺的交互作用是否显著；配方和工艺分别取何水平时，银层厚度最薄。

解 根据表5.2.1的数据，利用式（5.2.14）～式（5.2.18），经计算得方差分析表5.2.4。

表5.2.4　不同配方（因素A）、不同工艺（因素B）下的银层厚度方差分析表

查附表得F0.95（2，6）=5.14，F0.95（1，6）=5.99。由此可见，在水平α=0.05下，不同配方下的银层厚度无显著差异，而不同工艺下的银层厚度有显著差异，且配方和工艺的交互作用显著，由表5.2.1中的数据可知，采用配方A3和工艺甲时银层厚度最薄。

基于R的求解方法之一如下：