假设检验结果表明反应时间对产出率有显著影响

为了建立检验统计量，首先对总离差平方和进行分解

其中，是数据的总平均。SST反映了全部试验数据之间的离散程度，称之为总离差平方和或总离差。

即水平Ai下的样本平均值。则

易知上述第三项等于零，于是可将SST分解成

其中，

SSA的各项表示Ai水平下的样本均值与数据总平均的差异，这种差异是由水平Ai引起的，因而SSA的大小反映了因素A对试验结果的影响程度，SSA越大，表明因素A的影响程度越大，SSA叫作因素A的效应平方和，亦称组间平方和；SSE的各项（xij-）2表示在水平Ai下样本观察值与第i组样本均值的差异，这是由随机因素所引起的，SSE越大，表明随机因素的影响程度越大，SSE叫作误差平方和，亦称组内平方和。显然，SSA相对于SSE越大，也就是说比值越大，因素A的影响越显著；反之，因素A的影响被淹没在随机因素的影响之中，即因素A的影响不显著。那么，究竟比值多大时，才能说明因素A的影响显著呢？为此需要知道在原假设H0成立时比值的分布。可以证明，当原假设H0成立时，比值服从自由度为（p-1，p（n-1））的F分布。

由于和表达的含义相同，且为了直接利用我们熟知的F分布，可以建立下面的检验统计量：

其中，，p-1是SSA的自由度，p（n-1）是SSE的自由度。

通过以上分析可见：当F值较大时，表明因素A对试验结果的影响显著；反之，影响不显著。给定显著性水平α，查F分位数表得分位数F1-α（p-1，p（n-1））。当F＞F1-α（p-1，p（n-1））时，拒绝H0，认为因素A对试验结果有显著影响；反之，当F＜F1-α（p-1，p（n-1））时，不能否定H0，即认为因素A对试验结果无显著影响，或者更确切地说，就现有观察数据而言，还不能看出因素A的影响。为简便起见，将上述分析列成方差分析表，如表5.1.5所示。

表5.1.5　单因素试验方差分析表

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在实际中，可按如下简便公式来计算SST、SSA、SSE：

则有

例5.1.4 利用表5.1.1中的数据，检验反应时间对产出率是否有显著影响，并指出反应时间取何水平时，产出率最高，已知α=0.05。

解 本例中，p=3，n=5，经计算得

于是得方差分析表5.1.6。

表5.1.6　反应时间对产出率方差分析表

因F0.95（2，12）=3.89＜27.694 9，故在水平0.05下拒绝H0，认为不同反应时间下的产出率存在显著差异。由于当反应时间为60 min、70 min、80 min时，其产出率的平均值分别是73.8、84.8、76.6，因此，认为当反应时间为70 min时，产出率最高。不过，值得注意的是，若反应时间取水平65 min、70 min、75 min，即水平之间差距变小时，这三个反应时间下的产出率可能不存在显著差异，且70 min也不一定就是最好。由此可见，因素对试验结果是否存在显著影响是就其所取水平而言的。

注意：以上都是在针对每个因素等重复试验条件下进行讨论的，不过在不等重复试验条件下，即对应于各水平下的试验次数不全相同（如例5.1.2），可作相似的讨论，只不过计算公式稍微复杂一点而已。

基于R的求解方法之一如下：