基于R的统计学：正态总体均值差与方差比的区间估计

在实际中，经常遇到下面的问题：已知产品的某一质量指标服从正态分布，但由于原料、设备条件、操作人员不同，或工艺过程的改变等因素，总体均值、总体方差有所改变。我们需要知道这些变化有多大，这就需要考虑两个正态总体均值之差与方差之比的估计问题。

1.两个正态总体均值之差的区间估计

设有两个正态总体N（μ1，σ21）和N（μ2，σ22），分别从中抽取容量为n1和n2的样本，样本均值分别为和，样本方差分别为S21和S22，并设这两个样本是互相独立的。下面就总体方差的不同情况，来讨论μ1-μ2的置信区间。

（1）总体方差σ21和总体方差σ22都已知

由和的独立性以及，知

从而有

对于给定的置信度1-α，查标准正态分布表得的值，使

其中是标准正态分布的分位数。把u的表达式代入上式得

故μ1-μ2的置信区间是

而置信度为1-α。

例3.4.4 为考察工艺改革前后所纺线纱的断裂强度的变化大小，分别从改革前后所纺线纱中抽取容量为80和70的样本进行测试，算得=5.32，=5.76。假定改革前后线纱断裂强度分别服从正态分布，其方差分别为21.82和1.762，试求改革前后线纱平均断裂强度之差的置信度为95%的置信区间。

解 由题意知，α=5%。查标准正态分布表得u0.975=1.96。则置信下限为

置信上限为

故μ1-μ2置信度为95%的置信区间是（-1.07，0.19）。

（2）总体方差σ21和总体方差σ22未知，但已知σ21=σ22=σ2

由式（2.3.12）知

令

上面结论可改写为

给定置信度1-α，从t分布表可查得的值。使即

所以，对置信度为1-α，两总体均值之差μ1-μ2的置信区间是

例3.4.5 为了估计磷肥对某种农作物增产的作用，现选20块条件大致相同的地块。10块不施磷肥，另外10块施磷肥，得亩产量（单位：500 g）如下：

不施磷肥亩产

560 590 560 570 580 570 600 550 570 550

施磷肥亩产

620 570 650 600 630 580 570 600 600 580

设不施磷肥亩产和施磷肥亩产都具有正态分布，且方差相同，取置信度为0.95，试对施磷肥平均亩产和不施磷肥平均亩产之差作区间估计。

解 不施磷肥亩产看成总体X～N（μ1，σ2），施磷肥亩产看成总体Y～N（μ2，σ2）。由题意知，n1=n2=10，经计算得

由1-α=0.95，查表得，所以μ2-μ1的置信下限为

置信上限为

故施磷肥平均亩产与不施磷肥平均亩产之差的置信区间是（9，51）。

基于R的求解方法之一如下：

（3）大样本时对两个总体均值之差的区间估计

设两个总体X与Y的分布是任意的，分别具有有限的非零方差。记E（X）=μ1，D（X）=σ21，E（Y）=μ2，D（Y）=σ22，它们都是未知的。今独立地从各总体中抽得一个样本，分别为（X1，X2，…，Xn1）和（Y1，Y2，…，Yn2），即两个相互独立的随机向量。记和分别是两个样本的均值，S21和S22分别是两个样本的方差。现要对两个总体均值之差μ1-μ2作区间估计。(www.xing528.com)

利用中心极限定理，当n1和n2都很大时，和分别近似地服从正态分布和。由样本的独立性知和是独立的，因而

经标准化后，可得

近似地服从标准正态分布，而其中σ21和σ22都是未知的。当n1和n2都很大时，可分别用样本方差代替总体方差。在上式中，σ21和σ22分别用S21和S22代替后，仍近似地服从标准正态分布，即

给定1-α（0＜α＜1），可查标准正态分布表得使

把u的表达式代入上式得

所以，μ1-μ2的置信区间是

而置信度为1-α。

例3.4.6 两台机床加工同一种轴，分别抽得加工200根和150根轴测量其椭圆度，经计算得到：

·第一台机床n1=200=0.081 mm，s1=0.025 mm

·第二台机床n2=150=0.062 mm，s2=0.062 mm给定置信度为95%，试求两台机床平均椭圆度之差的置信区间。

解 此题中取得的两个样本都是大样本，根据上面的公式，可得μ1-μ2的置信下限

置信上限

故μ1-μ2置信度95%的置信区间是（0.008 5，0.029 5）。

2.两个正态总体方差之比的区间估计

设两个正态总体的分布分别是N（μ1，σ21）和N（μ2，σ22），其中μ1、μ2、σ21、σ22都是未知的。从两个总体中独立地各取一个样本，样本方差分别记为S21和S22。下面对两个总体方差之比作区间估计。

由前面的定理式（2.3.3）知和分别服从自由度为n1-1和n2-1的χ2分布。且S21与S22相互独立，由F分布的定义知

服从自由度为（n2-1，n1-1）的F分布。

给定置信度1-α，在F（n2-1，n1-1）分布密度图3.4.3中取左右两侧面积都等于，即由F分布表可查得与的数值使

图3.4.3　F分布双侧分位数图

于是，中间部分面积等于1-α，即

把式（3.4.10）中的F代入上式，经变化可得

故得的置信度为1-α的置信区间是

根据F分布的性质，的置信区间还可以表示为

方差之比的置信区间的含义是：若的置信上限小于1，则说明总体N（μ1，σ21）的波动性较小；若的置信下限大于1，则说明总体N（μ1，σ21）的波动性较大；若置信区间包含1，则难以从这次实验中判断两个总体波动性的大小，可以认为σ21=σ22。

例3.4.7 两名化验员A和B独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各做了10次测定，其测定值的方差S2A=0.541 9，S2B=0.606 5。设σ2A和σ2B分别是A和B两化验员测量数据总体的方差，且总体服从正态分布，求总体方差之比的置信度为95%的置信区间。

解 由题意知，

1-α=0.95,α/2=0.025,n1-1=n2-1=9,F0.025(9,9)=4.03

则的置信下限

置信上限

所以，的置信度为95%的置信区间为（0.222，3.601）。