【摘要】：定义2.3.1 设X1，X2，…，Xn是来自总体N（0，1）的样本，则称统计量服从自由度为n的χ2分布，记为χ2～χ2。可以证明：χ2分布的概率密度函数为其中，，称为Gamma函数。f的图形如图2.3.1所示。图2.3.1自由度不同的卡方密度曲线χ2分布具备如下一些性质。图2.3.2卡方分布的100α%分位数χ2α从定义可以看出：因此，可利用χ2分布的分位数值表求得χ2随机变量落在任何一个区间内的概率。
定义2.3.1 设X1，X2，…，Xn是来自总体N（0，1）的样本，则称统计量
服从自由度为n的χ2分布，记为χ2～χ2（n）。
可以证明：χ2（n）分布的概率密度函数为
其中，
，称为Gamma函数。
f（y）的图形如图2.3.1所示。
图2.3.1 自由度不同的卡方密度曲线（基于R绘制）
χ2分布具备如下一些性质。
（1）若
，且
与
相互独立，则
（2）若χ2～χ2（n），则
E(χ2)=n,D(χ2)=2n
我们仅就第2个性质说明如下。
因为Xi～N（0，1），所以
(www.xing528.com)
于是
当X1，X2，…，Xn是来自总体N（μ，σ2）的样本时，也记
事实上，令
显然，Y1，Y2，…，Yn相互独立，且服从同一分布N（0，1），所以由定义2.3.1知：
关于χ2分布，人们引入了分位数（Fractile）（也称分位点、临界值或阈值）的概念，并制成了相应的分位数值表（见附表4），可供查询。
定义2.3.2 对任意正数α，0＜α＜1，若P{χ2＞χ2α（n）}=α，则称χ2α（n）为χ2分布的100α%分位数，如图2.3.2所示。
图2.3.2 卡方分布的100α%分位数χ2α（n）（基于R绘制）
从定义可以看出：
因此，可利用χ2分布的分位数值表求得χ2随机变量落在任何一个区间内的概率。
免责声明：以上内容源自网络，版权归原作者所有，如有侵犯您的原创版权请告知，我们将尽快删除相关内容。
