基于R的数理统计学：统计量及其应用

样本是总体的代表和反映，是进行统计推断的基本依据。但是，对于不同的总体，甚至对于同一个总体，我们所关心的问题往往是不一样的。有时可能只需要估计出总体的均值，而有时则可能希望了解总体的分布情况。因此在实际应用中我们并不是直接利用样本进行推断，而是首先对样本进行必要的“加工”和“提炼”，把样本中所包含的我们关心的信息集中起来。就是说，我们需要针对不同的问题对样本进行不同的处理，这种处理就是构造出样本的某种函数，然后利用这些样本的函数来进行统计推断。

定义2.2.2 设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本，g（X1，X2，…，Xn）是样本的函数，且g（X1，X2，…，Xn）中不含有任何未知参数，则称g（X1，X2，…，Xn）是一个统计量（Statistic）。若x1，x2，…，xn是对应于X1，X2，…，Xn的样本值，则称g（x1，x2，…，xn）是g（X1，X2，…，Xn）的观察值。

以下介绍几个常见的统计量。

设X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个样本，定义以下统计量。

1.样本均值（Sample Average）

2.样本方差（Sample Variance）

3.样本k阶原点矩（Sample Moment）

4.样本k阶中心矩（Sample Central Moments）

5.顺序统计量（Order Statistic）与样本分布函数（Sample Distribution Function）

记（x1，x2，…，xn）是上述样本的一组观察值，将其各个分量xi按照大小递增的次序排列，得到x（1）≤x（2）≤…≤x（n）。当（X1，X2，…，Xn）取值（x1，x2，…，xn）时，定义X（k）取值x（k），由此得到的（X（1），X（2），…，X（n））或它们的函数都称为顺序统计量。(www.xing528.com)

显然，X（1）≤X（2）≤…≤X（n），X（1）=min（X1，X2，…，Xn），X（k）=（min（Xi1，…，Xin-k+1）），X（n）=max（X1，X2，…，Xn），且（X1，X2，…，Xn）依赖于（x1，x2，…，xn）的取值而取值。较常用的顺序统计量有以下几个。

（1）样本中位数（Sample Median）：

（2）样本极差（Sample Range）：

R=X(n)-X(1)

记

显然，0≤F*n（x）≤1，它作为x的函数具有一个分布函数所要求的性质，故称为总体X的样本分布函数或经验分布函数。F*n（x）是样本的函数，它是一个随机变量。F*n（x）的值表示在n次重复独立试验（n次抽样）中事件{X≤x}发生的频率。因此，nF*n（x）～B（n，p），其中p=P{X≤x}。

进一步的研究可以证明：若总体X的分布是F（x），则下式成立：

即F*n（x）依概率1一致收敛到F（x）。

这就是著名的格里汶科（Галвенко）定理，是数理统计中一个非常深刻的结果。它告诉我们：当样本容量n逐渐增大趋于无穷时，经验分布函数逐渐趋向于总体分布函数，从而提供了一个寻求总体分布函数的实用而又具有精确保障的方法。随着计算机的迅速发展，该定理开辟了统计模拟的广阔天地。