判别任意项级数的敛散性

例7.15（北方工业大学1999年竞赛题）　若级数收敛，级数也收敛，证明：级数绝对收敛.

解析　由收敛，故其部分和数列

Sn＝a1－a0＋a2－a1＋…＋an－an－1＝an－a0

收敛（当n→∞），于是存在A使，且存在M∈R＋，使得｜an｜≤M.所以｜anbn｜≤M｜bn｜，根据比较判别法得绝对收敛.

例7.16（广东省1991年竞赛题）　试判断级数是否收敛.若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

解析　令，则

显见an→0（n→∞），且数列｛an｝单调减（n＝2，3，…）.应用莱布尼兹判别法，得收敛.因为

且发散，所以原级数非绝对收敛.故原级数条件收敛.

例7.17（江苏省2006年竞赛题）　对常数p，讨论级数

何时绝对收敛、何时条件收敛、何时发散.

解析　令，则

故当收敛，则原级数绝对收敛；当发散，则原级数非绝对收敛.

当时显然an→0（n→∞）.令

所以x充分大时f（x）单调增，于是n充分大时，单调减少，应用莱布尼兹判别法推知时原级数条件收敛.

当，故时原级数发散.

例7.18（全国大学生2013年决赛题）　若对于任意的趋向于0的序列｛xn｝，级数都是收敛的，试证：级数收敛.

解析　（用反证法）设级数发散，记于是存在单调增加的正整数数列｛nk｝（k＝1，2，…），使得（k＝2，3，…）.取

则.由于

所以级数发散，此与题设条件矛盾.所以级数收敛.

例7.19（江苏省1998年竞赛题）　设讨论级数是绝对收敛、条件收敛还是发散.

解析　，归纳设即an＜an＋1，数列｛an｝单调增加.又a1＜2，归纳设an＜2，则，即an＋1＜2，所以数列｛an｝有上界.据单调有界准则得｛an｝收敛.令，则有，解得A＝2.于是.

令，由于

据比值判别法得收敛，即原级数绝对收敛.

例7.20（江苏省2012年竞赛题）　已知级数为条件收敛，求常数k的取值范围.

解析　令，因为

所以，当1－k＞1，即k＜0时，原级数绝对收敛；当1－k≤1，即k≥0时，原级数非绝对收敛.

当k≥1时，因为

所以，k≥1时原级数发散.

当0≤k＜1时，因为为单调减少，应用莱布尼兹判别法得原级数收敛.

综上，当0≤k＜1时原级数条件收敛.

例7.21（江苏省1996年竞赛题）　设级数条件收敛，极限存在，求r的值，并举出满足这些条件的例子.

解析　因级数条件收敛，故该级数不可能为正项级数或负项级数.由

（1）若｜r｜＜1，则由比值判别法推得收敛，此与条件矛盾，故｜r｜≥1.

（2）若｜r｜＞1，则由，推知n充分大时数列｛｜an｜｝单调增，故，此与条件矛盾，故｜r｜＝1，即r＝1，－1.

（3）若r＝1，则由，推知n充分大时，an与an＋1同为正值或同为负值，此不可能.

综上，得r＝－1.

例如级数为条件收敛，且

例7.22（江苏省1996年竞赛题）　讨论级数的敛散性（p为常数）.

解析　当，由于此为交错级数单调减少且收敛于0，由莱布尼兹判别法得时原级数收敛.

当p≤0时，原级数的通项，所以原级数发散.

当时，考虑加括号（两项一括）的级数

由于n→∞时同阶，而同阶，发散，所以时，加括号的级数（1）发散，因而原级数也发散.

当时，考虑如下加括号的级数

由于n→∞时同阶，而同阶，发散，所以时，加括号的级数（2）发散，因而原级数也发散.

综上所述，原级数仅当时收敛.(https://www.xing528.com)

例7.23（全国大学生2011年决赛题）　设函数f（x）是区间（－∞，＋∞）上的可微函数，｜f′（x）｜＜mf（x），其中0＜m＜1.任取实数a0，定义an＝lnf（an－1），n＝1，2，…，证明：绝对收敛.

解析　对函数F（x）＝lnf（x），在以an－1，an－2为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，得F（an－1）－F（an－2）＝F′（ξ）（an－1－an－2），即

由于0＜m＜1时，几何级数收敛，因此应用比较判别法可得级数收敛，即绝对收敛.

例7.24（精选题）　设f（x）在（－∞，＋∞）上有定义，在x＝0的邻域内f有连续的导数，且，讨论级数的敛散性.

解析　由于，所以x→0时而级数发散，故级数非绝对收敛.由条件可得f（0）＝0，又

且a＞0，因f′（x）在x＝0连续，所以存在x＝0的某邻域U，其内f′（x）＞0，因而在U中f（x）严格增，于是当n充分大时，有

即单调减，且，应用莱布尼兹法则即得原级数条件收敛.

例7.25（全国大学生2016年决赛题）　设，其中n为正整数.

（1）若n≥2，计算In＋In－2；

（2）设p为实数，讨论级数的绝对收敛性与条件收敛性.

解析　（1）应用定积分的换元积分法，可得

（2）当时，0≤tanx≤1，所以tann＋2x≤tannx≤tann－2x，应用定积分的保向性得

又由第（1）问可得，于是

①当p＞1时，因为，而级数

显然收敛，应用比较判别法得原级数绝对收敛.

②当0＜p≤1时，因为，而级数

显然发散，应用比较判别法得原级数非绝对收敛.由于

应用夹逼准则得，又数列显然单调减少，据莱布尼茨判别法得原级数为条件收敛.

③当p≤0时，因为，所以≠0，因此原级数发散.

例7.26（江苏省2002年竞赛题）　设k为常数，试判别级数的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？

解析　记.当k＞1时，因为

而级数收敛，所以k＞1时收敛，故原级数在k＞1时绝对收敛.

当k＝1时，因为

故级数的部分和有上界，所以k＝1时，收敛，故原级数在k＝1时绝对收敛.

当k＜1时，因为

而发散，所以k＜1时原级数非绝对收敛.

当0≤k＜1时，｛an｝单调减，且

应用莱布尼兹判别法得原级数在0≤k＜1时条件收敛.

当k＜0时，因为

所以k＜0时原级数发散.

综上得：k≥1绝对收敛，0≤k＜1时条件收敛，k＜0时发散.

例7.27（江苏省2016年竞赛题）　已知级数其中实数λ∈［0，1］，试对λ讨论该级数的绝对收敛、条件收敛与发散性.

解析　方法1　设，则an＞0，且n→∞时因为λ∈［0，1］，即1－λ≤1，所以发散，应用比较判别法得级数发散，再应用比较判别法得原级数非绝对收敛.

（1）当λ∈［0，1）时，令，当x≥2时，因

所以f（x）在x≥2时单调减少，故单调减少.

令，因0＜1－λ≤1，则

所以x充分大时单调减少，故n充分大时单调减少.显然f（n）＞0，g（n）＞0，故｛an｝＝｛f（n）·g（n）｝也单调减少.又应用洛必达法则有

应用莱布尼茨判别法得交错级数收敛.

综上，可得原级数在λ∈［0，1）时为条件收敛.

（2）当λ＝1时，因为

所以原级数在λ＝1时发散.

方法2　数列｛an｝单调减少的证明改动如下，其他步骤同方法1.

所以x充分大时f（x）单调减少，故n充分大时｛an｝＝｛f（n）｝单调减少.