高等数学竞赛题解析教程2018：空间直线方程

例6.8（江苏省2016年竞赛题）　已知点P（3，2，1）与平面Π：2x－2y＋3z＝1，试在直线上求一点Q，使得线段PQ平行于平面Π.

解析　通过点P（3，2，1）且与平面2x－2y＋3z＝1平行的平面为

Π′：2x－2y＋3z＝5

题给直线通过点A（3，－1，0），方向为l＝（1，2，1）×（1，－1，2）＝（5，－1，－3），设点Q的坐标为（x0，y0，z0），其中x0＝3＋5t，y0＝－1－t，z0＝0－3t，代入平面Π′的方程得

2（3＋5t）－2（－1－t）＋3（－3t）＝5⇒t＝－1

于是点Q的坐标为（－2，0，3）.

例6.9（全国大学生2010年预赛题）　求下列两条直线

之间的距离.

解析　直线l1过点O（0，0，0），A（1，1，0），其方向向量为；直线l2过点P（2，1，3），其方向向量为l2＝（4，－2，－1）.这两条直线的公垂线的方向向量为

l＝（4，－2，－1）×（1，1，0）＝（1，－1，6）

于是两条直线的距离为

例6.10（江苏省2004年竞赛题）　已知点P（1，0，－1）与Q（3，1，2），试在平面x－2y＋z＝12上求一点M，使得｜PM｜＋｜MQ｜最小.

解析　显然，点P，Q在已知平面的同侧.从P作直线l垂直于平面，l的方程为

x＝1＋t，　y＝－2t，　z＝－1＋t

代入平面方程解得t＝2，所以直线l与平面的交点为P0（3，－4，1）（如图所示），而P关于平面的对称点为P1（5，－8，3）.连接P1Q，其方程为

x＝3＋2t，　y＝1－9t，　z＝2＋t

代入平面方程解得.于是所求点M的坐标为

例6.11（江苏省2008年竞赛题）　在平面Π：x＋2y－z＝20内作一直线Γ，使直线Γ过另一直线与平面Π的交点，且Γ与L垂直，求直线Γ的参数方程.

解析　直线L的方向向量为l＝（1，－2，2）×（3，1，－4）＝（6，10，7），且直线L上有一点（1，0，0），所以直线L的参数方程为x＝1＋6t，y＝10t，z＝7t，代入平面方程解得t＝1，所以直线L与平面Π的交点为（7，10，7）.平面Π的法向量为n＝（1，2，－1），所求的直线Γ的方向向量为l1＝l×n＝（6，10，7）×（1，2，－1）＝－（24，－13，－2），于是所求直线Γ的参数方程为(www.xing528.com)

x＝7＋24t，　y＝10－13t，　z＝7－2t

例6.12（江苏省2017年竞赛题）　已知直线

（1）证明L1与L2是异面直线；

（2）若直线L与L1，L2皆垂直且相交，交点分别为P，Q，试求点P与Q的坐标；

（3）求异面直线L1与L2的距离.

解析　（1）直线L1通过点A（5，－1，3），方向向量为l1＝（1，0，2），直线L2通过点B（8，1，1），方向向量为，由于

所以L1与L2是异面直线.

（2）方法1　直线L的方向为

l＝l1×l2＝（1，0，2）×（2，－1，1）＝（2，3，－1）

设交点坐标为P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），令

因线段PQ与l平行，所以

由此解得s＝－1，t＝－1.于是点P与Q的坐标分别为P（4，－1，1），Q（6，2，0）.

方法2　直线L的方向为l＝l1×l2＝（1，0，2）×（2，－1，1）＝（2，3，－1）.设交点坐标为P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2），则

由于三向量共面，三向量共面，所以

即x1－2y1－4z1＝2，6x2－5y2－3z2＝26，再分别与（＊）式联立可解得

P（x1，y1，z1）＝P（4，－1，1），　Q（x2，y2，z2）＝Q（6，2，0）

（3）由第（2）问可知异面直线L1与L2的距离为