高等数学竞赛题解析教程.2018：格林公式应用实例

例5.43（江苏省1998年竞赛题）　若φ（y）的导数连续，φ（0）＝0，曲线的极坐标方程为ρ＝a（1－cosθ），其中a＞0，0≤θ≤π，A与B分别对应于θ＝0与θ＝π，求

解析　设曲线与线段所围区域为D（如右图所示），又设

P＝φ（y）ex－πy，　Q＝φ′（y）ex－π

应用格林公式，有

例5.44（全国大学生2012年决赛题）　设连续可微函数z＝z（x，y）由方程F（xz－y，x－yz）＝0（其中F（u，v）有连续的偏导数）惟一确定，L为正向单位圆周，试求

解析　记f（x，y，z）＝F（xz－y，x－yz），应用隐函数方程求偏导数公式有

记P＝－（2xz＋yz2），Q＝xz2＋2yz，单位圆包围的区域记为D，应用格林公式有

例5.45（江苏省2006年竞赛题）　已知Г是y＝asinx（a＞0）上从（0，0）到（π，0）的一段曲线，a＝________时，曲线积分取最大值.

解析　设Г与所围区域为D（如图所示），在D上应用格林公式，记，则

令为极大值，即最大值，故.

例5.46（江苏省2008年竞赛题）　设Γ为x2＋y2＝2x（y≥0）上从O（0，0）到A（2，0）的一段弧，连续函数f（x）满足

求f（x）.

解析　设，则f（x）＝x2＋a，记Γ与包围的区域为D，应用格林公式，有

例5.47（北京市1996年竞赛题）　设函数f（x，y）在区域D：x2＋y2≤1上有二阶连续偏导数，且

解析　运用极坐标变换，有

其中可看作沿半径为ρ（0≤ρ≤1）的圆周L的逆向的曲线积分.因x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以dx＝－ρsinθdθ，dy＝ρcosθdθ.记D1是半径为ρ的圆域，应用格林公式，上述积分化为

例5.48（精选题）　求曲线积分其中Γ为

其方向与z轴正方满足右手法则.

解析　曲线Γ的方程可写为

将Γ的位于y＝x上方的部分记为Γ1，位于y＝x下方的部分记为Γ2，Γ与y＝x的交点记为A，B（如图）.将Γ所围的圆域用分为D1与D2，则

例5.49（江苏省2017年竞赛题）　设Γ为圆x2＋y2＝4，将对弧长的曲线积分

化为对坐标的曲线积分，并求该曲线积分的值.

解析　圆Γ的参数方程为x＝2cost，y＝2sint，圆Γ的切向量为

（x′（t），y′（t））＝（－2sint，2cost）＝（－y，x）

于是圆Γ正向Γ＋切向量的方向余弦为，则

下面用两种方法求曲线积分的值.

方法1　记在曲线Γ＋的内部取小圆Γε：x2＋（y－1）2＝ε2（取逆时针方向，0＜ε＜1）.设Γ，Γε包围的区域为D（如右图所示），在D内P，Q∈C（1），且.在D上应用格林公式得

设Γε所包围的区域为Dε，上式右端在Γε上应用格林公式得

方法2　用参数方程计算.Γ的参数方程为x＝2cost，y＝2sint（t从－π到π），则(www.xing528.com)

例5.50（精选题）　已知.（1）求常数a和λ，使得在区域D＝｛（x，y）｜x2＋y2＞0｝上与路径无关；（2）求Pdx＋Qdy在D中的原函数.

解析　（1）在区域D上，P，Q∈C（1），由于曲线积分与路径无关的充要条件是而

所以λ－1＝1，4λ＝2a，即λ＝2，a＝4，此时

（2）令Pdx＋Qdy＝du，则于是

即φ′（y）＝0.取φ（y）＝C，得所求的原函数为.

例5.51（江苏省2004年竞赛题）　设f（x）连续可导，f（1）＝1，G为不包含原点的单连通域，任取M，N∈G，在G内曲线积分与路径无关.

（1）求f（x）；

（2）求，取正向.

解析　记，因为在G内曲线积分与路径无关，所以∀（x，y）∈G，有，即

由此推得yf′（y）＝2f（y），又f（1）＝1，解此变量可分离的微分方程得f（y）＝y2.于是f（x）＝x2.

取小椭圆Гε：2x2＋y2＝ε2，取正向，ε为充分小的正数，使得Гε位于Г的内部.设Г与Гε所包围的区域为D.在D上，P和Q的一阶偏导数连续，且，应用格林公式得

这里为负向（即顺时针方向），于是

例5.52（莫斯科钢铁与合金学院1976年竞赛题）　计算曲线积分

其中u＝ax＋by，v＝cx＋dy（ad－bc≠0），L为xy平面上环绕坐标原点的单闭曲线，取逆时针方向.

解析　将u＝ax＋by，v＝cx＋dy代入原式得

由于（u，v）＝（0，0）⇔（x，y）＝（0，0），所以在（x，y）≠（0，0）的区域上，曲线积分与路线无关.在单闭曲线L内部取椭圆Г：（ax＋by）2＋（cx＋dy）2＝ρ2（逆时针方向），ρ＞0充分小，则

这里D为椭圆Г包围的区域.对上式右边的二重积分作换元变换，令u＝ax＋by，v＝cx＋dy，则

这里±的选取是当ad－bc＞0时取正号，当ad－bc＜0时取负号.

例5.53（莫斯科电气学院1976年竞赛题）　设P（x，y），Q（x，y）在全平面上具有连续的一阶偏导数，沿着平面上的任意半圆周曲线积分，其中x0，y0为任意实数，R为任意正实数，求证：（1）P（x，y）≡0；（2）.

解析　（1）如下图所示，∀（x0，y0）∈R2，∀R＞0，以（x0，y0）为圆心，以R为半径作上半圆周L，取逆时针方向，起点为A（x0－R，y0），终点为B（x0＋R，y0），则

对（1）式右端应用积分中值定理，∃（ξ，η）∈D，有

对（1）式左端有

对此式右端应用定积分中值定理，∃c∈（x0－R，x0＋R），有

将（2）式与（3）式代入（1）式得

令R→0，此时c→x0，（ξ，η）→（x0，y0），得P（x0，y0）＝0，由（x0，y0）∈R2的任意性，即得P（x，y）≡0.

（2）（反证法）假设∃（a，b）∈R2，使得（或＜0）.由于Q∈C（1）（R2），所以∃（a，b）的邻域U，使得（或＜0），在邻域U内取上半圆周L，则

此为矛盾式，故有