曲线积分计算实例解析-高数竞赛题解教程

例5.37（南京大学1996年竞赛题）　求其中曲线C由方程组给定.

解析　曲线C的参数方程为，于是

例5.38（江苏省2016年竞赛题）　设Γ为曲线y＝2x＋1上从点A（0，2）到点B（1，3）的一段弧，试求曲线积分

解析　方法1　记P＝exy（1＋xy），Q＝exyx2，因

即，所以曲线积分与路径无关.取点A（0，2）到点B（1，3）的折线段为（C为点（1，2）），则

方法2　将曲线方程代入被积表达式化为定积分得

例5.39（南京工业大学2009年竞赛题）　设Γ是由点（1，0）经y＝1－x2到（－1，0）曲线段，则＝________.

解析　令，则

所以在不包含（0，0）的单连通区域内与路径无关.作圆x2＋y2＝1（y≥0），从（1，0）到（－1，0）的上半圆周记为L，则L：x＝cosθ，y＝sinθ，θ从0到π，故

例5.40（全国大学生2009年预赛题）　设平面区域0≤y≤π｝，L为D的正向边界，试证：

解析　（1）设正方形曲线L的4个顶点按逆时针排分别为O，A，B，C，则

两式右端相等，所以（1）得证.

（2）由于，所以(www.xing528.com)

由第（1）问以及积分的保号性得

例5.41（江苏省2012年竞赛题）　已知Γ为x2＋y2＋z2＝6y与x2＋y2＝4y（z≥0）的交线，从z轴正向看上去为逆时针方向，计算曲线积分

解析　方法1　记曲线Γ的x≥0的部分与x≤0的部分分别为Γ1与Γ2，其参数方程分别为

分别在Γ1和Γ2上积分，有

方法2　记P＝x2＋y2－z2，Q＝y2＋z2－x2，R＝z2＋x2－y2，Σ为球面x2＋y2＋z2＝6y位于交线Γ上方的部分，取上侧.利用斯托克斯公式，则

采用统一投影法计算.设D＝｛（x，y）｜x2＋y2≤4y｝，因故

例5.42（浙江省2009年竞赛题）　设，其中f的导函数连续，曲面S为z＝x2＋y2被y＋z＝1所截的下面部分，取内侧，L为S的正向边界，求

解析　因为在L上z＝x2＋y2，所以

记，代入原式化简，有

这里A为曲线L上任一点.记P＝0，Q＝x3，R＝R（z），应用斯托克斯公式，则

曲面S在O－xy平面上的投影为，D关于x＝0对称，于是