交换二次积分次序的示例及解析

例5.15（江苏省2000年竞赛题）　交换二次积分的次序：＝________.

解析由x＝0，x＝1，y＝x2，y＝3－x所围的积分区域如图所示，则交换积分次序得

例5.16（江苏省2012年竞赛题）　交换二次积分的顺序.

解析　由所围的积分区域如右图所示，交换积分顺序得

例5.17（精选题）　设f（x）连续可导，a＞0，求

解析　交换二次积分的次序，有

例5.18（江苏省2017年竞赛题）　设交换二次积分的次序，并求此积分的值.

解析　由所围成的积分区域如下图所示，交换二次积分的次序得

例5.19（江苏省2008年竞赛题）　求

解析　交换积分次序，有

两次应用洛必达法则和积分变换，则

例5.20（北京市1994年竞赛题）　设f（x，y）是定义在区域0≤x≤1，0≤y≤1上的二元函数，f（0，0）＝0，且在点（0，0）处f（x，y）可微，求极限

解析　交换积分次序，有

应用洛必达法则与积分中值定理，则

由于f（x，y）在（0，0）处可微，f（0，0）＝0，及ξ（x）＝o（x），所以

因此

例5.21（北京市1996年竞赛题）　设f（x）为连续偶函数，试证明：(www.xing528.com)

其中D为正方形｜x｜≤a，｜y｜≤a（a＞0）.

解析　方法1　根据题意，有

参看下图，变换积分顺序，上式化为

因为f（x）为偶函数，有

方法2　运用二重积分换元积分法，令u＝x－y，v＝x＋y，则，雅可比行列式，面积微元为dxdy，故

其中D′：｜u＋v｜≤2a，｜u－v｜≤2a（见右图）.由于区域D′关于u＝0对称且f（u）关于u为偶函数，区域D′关于v＝0对称且f（u）关于v为偶函数，应用二重积分的奇偶对称性得

例5.22（精选题）　设x≥0，f0（x）＞0，若，求证：

解析　用数学归纳法证明.当n＝1时

所以（＊）1成立.假设（＊）k成立，即

所以（＊）k＋1成立，因此（＊）n对任意正整数n成立.

例5.23（精选题）　设D：x2＋y2≤1，f（x，y）在D上连续.

（1）求证

（2）求

解析　（1）作标准的极坐标变换x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，则面积微元为dxdy＝｜J｜dρdθ＝ρdρdθ，所以

再作非标准的极坐标变换x＝ρsinθ，y＝ρcosθ，则面积微元为dxdy＝｜J｜dρdθ＝ρdρdθ，所以

（2）利用（1）的结论得