2018年高等数学竞赛题解：条件极值示例

例4.38（江苏省1994年竞赛题）　椭球面x2＋2y2＋4z2＝1与平面x＋y＋之间的最短距离为__________.

解析　设椭球面上的点P（x，y，z）到平面的距离为d，则

应用拉格朗日乘数法，令

由方程组

解得驻点.这两点到平面的距离d分别是，故最小距离为

例4.39（江苏省1994年竞赛题）　已知a，b满足求曲线y＝x2＋ax与直线y＝bx所围区域的面积的最大值与最小值.

解析　因为

故a2＋b2＝1.曲线y＝x2＋ax与直线y＝bx所围图形的面积为

应用拉格朗日乘数法，令(www.xing528.com)

由方程组

解得驻点，此时.又a＝0时b＝1，此时；a＝－1时b＝0，此时.所以所求面积的最大值为，最小值为.

例4.40（江苏省2008年竞赛题）　已知曲面4x2＋4y2－z2＝1与平面x＋y－z＝0的交线在xy平面上的投影为一椭圆，求此椭圆的面积.

解析　方法1　椭圆的方程为3x2＋3y2－2xy＝1.椭圆的中心在原点，在椭圆上任取一点（x，y），它到原点的距离.

令F＝x2＋y2＋λ（3x2＋3y2－2xy－1），则

由上（1）和（2）两式推得y＝x或y＝－x，故驻点为

因此分别为椭圆的长、短轴，于是椭圆的面积为

方法2　椭圆的方程为3x2＋3y2－2xy＝1.椭圆的中心在原点，作坐标系的旋转变换，令代入椭圆方程得2u2＋4v2＝1，因此分别为椭圆的长、短轴，于是椭圆的面积为