2018高等数学竞赛题解：求高阶偏导数

例4.23（全国大学生2010年预赛题）　已知函数f（x）有二阶连续导数，设

解析　应用复合函数求偏导数法则得

应用对称性得

于是

例4.24（浙江省2009年竞赛题）　设g二阶可导，f具有二阶连续偏导数，z＝g（xf（x＋y，2y）），求＝________.

解析　应用多元复合函数的链锁法则，有

例4.25（北京市1990年竞赛题）　设函数满足

试求函数f的表达式.

解析　令，则

同理可得，代入原方程得

即得，积分两次得

例4.26（江苏省1998年竞赛题）　已知函数f（x，y）的二阶偏导数皆连续，且

试求.

解析　在等式f（x，2x）＝x2两边对x求全导数得

两边再对x求全导数得

由条件得

在两边对x求全导数得

将上两式联立解得.

例4.27（江苏省2008年竞赛题）　已知函数u（x，y）具有连续的二阶偏导数，算子A定义为.（1）求A（u－A（u））；（2）利用结论（1），以ξ＝，η＝x－y为新的自变量，改变方程的形式.

解析　（1）

（2）由，又

例4.28（精选题）　设函数u＝u（x，y）有连续的二阶偏导数，且满足方程

（1）用变量代换ξ＝x－y，η＝x＋y将上述方程化为以ξ，η为自变量的方程；

（2）已知u（x，2x）＝x，u′x（x，2x）＝x2，求u（x，y）.

解析　（1）div（gradu）＝div（u′x，u′y）＝u″xx＋u″yy，于是原方程化为

将（2）式与（3）式代入（1）式得

（2）将方程两边对η积分得

此式两边对ξ积分得(https://www.xing528.com)

这里f，g为任意可微函数.于是

由条件u（x，2x）＝x得

（4）式两边对x求偏，导得

由条件得

（6）式两边对x积分得

联立（5）式与（7）式解得

由此可得

于是由（4）式可得所求函数为

例4.29（北京市2002年竞赛题）　设函数z＝f（x，y）具有二阶连续偏导数，且，证明：对任意常数C，f（x，y）＝C为一直线的充要条件是

解析　先证必要性.若f（x，y）＝C为一直线，则均为常数，故，从而等式成立.

再证充分性.设由f（x，y）＝C确定隐函数y＝y（x），于是f（x，y（x））≡0.两边对x求导得，两边再对x求导得

因为，代入上式得

由条件得

积分得y＝C1x＋C2（C1，C2为常数），从而f（x，y）＝0为一直线.

例4.30（全国大学生2011年初赛题）　设z＝z（x，y）是由方程

确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数，求证：

解析　记，应用隐函数求偏导数法则有

于是

此式两端分别对x，y求偏导数得

（1）式乘x加上（2）式乘y得

例4.31（南京大学1995年竞赛题）　若.

解析　因，所以

例4.32（清华大学1985年竞赛题）　求

对x的n阶导数.

解析　令，则

应用莱布尼兹公式^[1]得，于是