多元复合函数与隐函数偏导数求解结果

例4.10（江苏省2004年竞赛题）　设f（x，y）可微，，则φ′（1）＝__________.

解析　应用多元复合函数的链锁法则，有

例4.11（江苏省2012年竞赛题）　已知函数φ（x），ψ（x），f（x，y）皆可微，设z＝f（φ（x＋y），ψ（xy）），则＝________.

解析　应用多元复合函数的链锁法则，有

例4.12（江苏省2016年竞赛题）　设函数F（u，v）具有连续的偏导数，且，函数y＝f（x）由确定，试求全导数f′（x）.

解析　方法1　应用隐函数求导公式与复合函数求导公式得

方法2　应用复合函数求导公式，原式两边对x求导数得

化简得.

例4.13（江苏省1998年竞赛题）　设变量x，y，t满足y＝f（x，t）及F（x，y，t）＝0，且函数f，F的一阶偏导数连续，则＝__________________.

解析　由方程组y＝f（x，t），F（x，y，t）＝0确定y，t是x的一元函数，即有y（x），t（x）.方程两边对x求导得两式联立消

例4.14（江苏省2000年竞赛题）　设z＝z（x，y）由方程确定（F为任意可微函数），则＝________.

解析　应用隐函数求偏导数法则，令，则

例4.15（江苏省2006年竞赛题）　已知由x＝zey＋z可确定z＝z（x，y），则dz（e，0）＝________________.

解析　x＝e，y＝0时，由e＝zez，故z（e，0）＝1.令F＝zey＋z－x，则由隐函数求偏导数公式得

例4.16（南京大学1996年竞赛题）　设y＝f（x，t），而t是由方程G（x，y，t）＝0所确定的x，y的函数，其中f，G可微，求.

解析　令F（x，y，t）＝f（x，t）－y＝0，则由

确定y＝y（x），t＝t（x）.方程式（＊）两边对x求导得

由此可解得

例4.17（江苏省2000年竞赛题）　假设u＝u（x，y）由方程u＝f（x，y，z，t），g（y，z，t）＝0和h（z，t）＝0确定（f，g，h均为可微函数），求.

解析　首先由确定z＝z（y），t＝t（y）.方程组对y求导数得

由此解得

应用复合函数求偏导数法则得

例4.18（全国大学生2017年决赛题）　已知可微函数f（x，y）满足，求函数f（x，y）.(www.xing528.com)

解析　应用关于e的重要极限与偏导数的定义得

所以.又由于，所以C＝1，即f（0，y）＝siny.

∀y＝y0（y0为常数），由得

积分得lnf（x，y0）＝x＋lnφ（y0）⇒f（x，y0）＝φ（y0）ex.再由y0的任意性，可得f（x，y）＝φ（y）ex，令x＝0得φ（y）＝siny，所以f（x，y）＝exsiny.

例4.19（江苏省2012年竞赛题）　设函数f（x，y）在平面区域D上可微，线段PQ位于D内，已知点P，Q的坐标分别为P（a，b），Q（x，y），求证：在线段PQ上存在点M（ξ，η），使得

解析　令F（t）＝f（a＋t（x－a），b＋t（y－b）），则F（t）在［0，1］上连续，在（0，1）内可导，应用拉格朗日中值定理，必∃θ∈（0，1），使得

因为

令ξ＝a＋θ（x－a），η＝b＋θ（y－b），点M（ξ，η）显然位于线段PQ上，则

又F（0）＝f（a，b），F（1）＝f（x，y），代入（＊）式得

例4.20（北京市2000年竞赛题）　设u＝f（x，y，z），f是可微函数，若，证明：u仅为r的函数，已知

解析　令x＝rcosθ·sinφ，y＝rsinθ·sinφ，z＝rcosφ，则有

u＝f（rcosθ·sinφ，rsinθ·sinφ，rcosφ）

则

代入，从而得证u仅为r的函数.

例4.21（浙江省2002年竞赛题）　设二元函数f（x，y）有一阶连续的偏导数，且f（0，1）＝f（1，0），证明：单位圆周上至少存在两点满足方程

解析　令g（t）＝f（cost，sint），则g（t）一阶连续可导，且g（0）＝f（1，0），.分别在区间上应用罗尔定理，存在，使得

g′（ξ1）＝0，　g′（ξ2）＝0

记（x1，y1）＝（cosξ1，sinξ1），（x2，y2）＝（cosξ2，sinξ2），由于

所以

即

例4.22（北京市1995年竞赛题）　已知z＝z（x，y）满足设对函数ψ＝ψ（u，v），求证

解析　由，有，于是