高等数学竞赛题解析教程：反常积分的例题讲解

例3.106（江苏省2000年竞赛题）　设

求常数a，b.

解析　原式左边应用洛必达法则，有

原式右边应用广义N－L公式，有

例3.107（南京工业大学2009年竞赛题）　＝____________.

解析　方法1　令，故

方法2　故

例3.108（南京大学1993年竞赛题）　＝________.

解析　方法1　令x2＝t，则

方法2　令x2＝t，则原式＝令

两边求导得

t3e－t＝e－t［－at3＋（3a－b）t2＋（2b－d）t＋d－e］

比较两边t的同次幂的系数得a＝－1，b＝－3，d＝－6，e＝－6，于是

例3.109（莫斯科矿业学院1977年竞赛题）　求反常积分

例3.110（全国大学生2009年预赛题）　求x→1－时与等价的无穷大量.

解析　当0＜x＜1时，考察，由于

应用积分公式，可得

由于x→1－时，－lnx＝－ln（1＋x－1）～－（x－1）＝1－x，所以x→1－时

由（＊）式即得：当x→1－时，与等价的无穷大量为

例3.111（浙江省2005年竞赛题）　设f（x）在［－1，1］上2阶导数连续，求证：存在ζ∈（－1，1），使得

解析　令F（x）＝xf（x），则F（x）在［－1，1］上2阶导数连续，且F（0）＝0，F′（0）＝f（0），F″（x）＝2f′（x）＋xf″（x），于是要证明（1）式，等价于证明存在ζ∈（－1，1），使得

下面用两种方法证明（2）式.

方法1　（1）设常数k满足令

则－k.因，应用罗尔定理，∃ξ1∈（0，1），使得G′（ξ1）＝0；又因G′（0）＝F（0）＝0，应用罗尔定理，∃ξ2∈（0，ξ1），使得G″（ξ2）＝0；又因G″（0）＝F′（0）－f（0）＝f（0）－f（0）＝0，应用罗尔定理，∃ξ3∈（0，ξ2），使得G‴（ξ3）＝0，即k＝F″（ξ3）.于是

（2）设常数L满足令(www.xing528.com)

则－F″（x）＋L.因应用罗尔定理，∃η1∈（－1，0），使得H′（η1）＝0；又因H′（0）＝－F（0）＝0，应用罗尔定理，∃η2∈（η1，0），使得H″（η2）＝0；又因H″（0）＝－F′（0）＋f（0）＝－f（0）＋f（0）＝0，应用罗尔定理，∃η3∈（η2，0），使得H‴（η3）＝0，即L＝F″（η3）.于是

将（3）和（4）两式相加得

（3）因为f″（x）在闭区间［－1，1］上连续，所以F″（x）在闭区间［－1，1］上连续.应用最值定理，记≤M，故应用介值定理，∃ζ∈（－1，1），使得，于是有成立，代入（5）式得，即（2）式成立.

方法2　因为f″（x）在闭区间［－1，1］上连续，所以F″（x）在闭区间［－1，1］上连续，应用马克劳林公式，存在η（x）使得

其中η（x）介于0与x之间.于是

应用最值定理，记，则m≤F″（η（x））≤M，即

即应用介值定理，∃ζ∈（－1，1），使得F″（ζ）＝代入（6）式得，即（2）式成立.

例3.112（精选题）　设λ∈R，求证：

解析　作广义换元积分变换，令tanx＝t，则

例3.113（江苏省2006年竞赛题）　设f（x）在（－∞，＋∞）上是导数连续的有界函数，｜f（x）－f′（x）｜≤1，求证：｜f（x）｜≤1，x∈（－∞，＋∞）.

解析　方法1　∀x∈R，有

即｜f（x）｜≤1.

方法2　令F（x）＝e－x［f（x）＋1］，由题意－1≤f′（x）－f（x）≤1，所以

F′（x）＝e－x［f′（x）－f（x）－1］≤0

因而F（x）单调减，故

而e－x＞0，故f（x）＋1≥0，即f（x）≥－1.

令G（x）＝e－x［f（x）－1］，由题意－1≤f′（x）－f（x）≤1，所以

G′（x）＝e－x［f′（x）－f（x）＋1］≥0

因而G（x）单调增，故

而e－x＞0，故f（x）－1≤0，即f（x）≤1.

综上，｜f（x）｜≤1.

例3.114（北京市1992年竞赛题）　求反常积分

解析　化为二次积分并交换积分次序，有