高等数学竞赛题解析：定积分在几何与物理中的应用

例3.64（全国大学生2017年决赛题）　求的整数部分.

解析　记.由图（1）可知：曲线与x＝1，x＝100，y＝0所围曲边梯形的面积大于它下方的99个长条矩形的面积之和，于是

（1）

（2）

由图（2）可知：图中99个长条矩形的面积之和大于它下方曲线y与x＝1，x＝100，y＝0所围曲边梯形的面积，于是

例3.65（莫斯科农业生产工程学院1977年竞赛题）　在y轴上过坐标为t（0≤t≤1）的点A作平行于x轴的直线AB，它与y＝x2，x＝1及y轴所围阴影部分D1与D2（如图所示）的面积之和为S，求S的最大值与最小值.

解析　应用定积分，面积S为

由，解得驻点，则

即t＝1时S取最大值时S取最小值.

例3.66（江苏省2000年竞赛题）　过抛物线y＝x2上一点（a，a2）作切线，问a为何值时所作切线与抛物线y＝－x2＋4x－1所围成的图形面积最小？

解析　由题意可得抛物线y＝x2在（a，a2）处的切线方程为y－a2＝2a（xa），即y＝2ax－a2.令，设此方程的两个解为x1，x2（x1＜x2），则

设抛物线y＝－x2＋4x－1下方、切线上方图形的面积为S，则

令S′＝0，解得惟一驻点a＝1，且a＜1时S′＜0，a＞1时S′＞0，所以a＝1为极小值点，即最小值点.于是a＝1时切线与抛物线所围面积最小.

例3.67（江苏省2006年竞赛题）　已知曲线Г的极坐标方程

求该曲线在所对应的点处的切线L的直角坐标方程，并求曲线Г、切线L与x轴所围图形的面积.

解析　曲线的参数方程为

即如图所示，三角形OPB的面积为

曲边三角形OPA的面积为

于是所求图形的面积为

例3.68（精选题）　设函数f（x）在［a，b］上可导，且f（a）＞0，f′（x）＞0，求证：存在惟一的ξ∈（a，b），使得由y＝f（x），x＝b，y＝f（ξ）所围的图形的面积与由y＝f（x），x＝a，y＝f（ξ）所围的图形的面积之比为2010.

解析　因f′（x）＞0，所以y＝f（x）的图形在［a，b］上严格增.右图所示两块阴影区域的面积分别为

作辅助函数

因F（x）在［a，b］上连续，应用零点定理，∃ξ∈（a，b），使得F（ξ）＝0，即

所以F（x）在［a，b］上严格减，于是上述应用零点定理的ξ是惟一的.

例3.69（莫斯科电气学院1977年竞赛题）　点A位于半径为a的圆周内部，且离圆心的距离为b（0≤b＜a），从点A向圆周上所有点的切线作垂线，求所有垂足所围成的图形的面积.

解析　设圆周方程为x2＋y2＝a2，点A位于（b，0），在圆周上任取点P（x0，y0），过点P作圆的切线L，则L的方程为x0x＋y0y＝a2，这里（x，y）为L上点的流动坐标.过点A作L的垂线AQ，则直线AQ的参数方程为

x＝b＋x0t，　y＝y0t

将其代入L的方程，解得垂足Q所对应的参数为t＝1－，于是垂足Q的坐标（x，y）为

令x0＝acost，y0＝asint，代入上式得垂足Q的坐标（x，y）为

垂足Q的轨迹显见对称于x轴，它与x轴的交点为（－a，0）与（a，0）.于是所求图形的面积为

例3.70（江苏省2012年竞赛题）　过点（0，0）作曲线Γ：y＝e－x的切线L，设D是以曲线Γ、切线L及x轴为边界的无界区域（如下图所示）.（1）求切线L的方程；（2）求区域D的面积；（3）求区域D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

解析　（1）设切点为（a，e－a），则

L：y－e－a＝－e－a（x－a）(www.xing528.com)

用（0，0）代入，得a＝－1，于是切线L的方程为

y＝－ex

（2）因切点为（－1，e），故区域D的面积为

例3.71（江苏省2017年竞赛题）　设曲线的拐点的横坐标为x＝a，若

试求常数a的值，并求区域D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积.

解析　因为由于在x的左、右侧y″异号，所以是曲线的拐点，故

区域D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为

例3.72（精选题）　设D是由y＝2x－x2与x轴所围的平面图形，直线y＝kx将D分成两部分（如右图所示），若D1与D2的面积分别为S1与S2，S1∶S2＝1∶7，求平面图形D1的周长以及D1绕y轴旋转一周的旋转体的体积.

解析　曲线y＝2x－x2与直线y＝kx的交点为O（0，0），A（2－k，k（2－k））（0＜k＜2），于是

由S1∶S2＝1∶7，所以S2＝7S1，即

由此解得k＝1，于是点A的坐标为（1，1）.

区域D1的周长为

区域D1绕y轴旋转一周的立体的体积为

例3.73（江苏省2004年竞赛题）　设D：y2－x2≤4，y≥x，x＋y≥2，x＋y≤4.在D的边界y＝x上任取点P，设P到原点的距离为t，作PQ垂直于y＝x，交D的边界y2－x2＝4于Q.

（1）试将P，Q的距离｜PQ｜表示为t的函数；

（2）求D绕y＝x旋转一周的旋转体体积.

解析　如右图所示，沿y＝x作坐标轴t，原点在O，则P在t轴上的坐标为t.在xy平面上P的坐标为，所以直线PQ的方程为

解得点Q的横坐标为所以

所求旋转体体积为

例3.74（北京市1994年竞赛题）　设

求曲线y＝f（x）与x轴所围成封闭图形的面积.

解析　根据题意可知

故f（x）为偶函数.所以曲线y＝f（x）与x轴所围成封闭图形（如上图）的面积为

例3.75（全国大学生2017年决赛题）　求曲线绕直线旋转一周生成的旋转曲面的面积.

解析　令，则

故f（x）在（0，1］上严格增，f（x）＞f（0）＝0，即曲线L1在直线的上方.又y″（x）＝2x＞0（0＜x≤1），所以曲线L1在［0，1］上是凹的（如右图所示）.

曲线L1上的点（x，y）到直线的距离为

由于tanα＝2，tanβ＝3，可得，故所求曲面的面积为

例3.76（江苏省1994年竞赛题）　设均匀细杆AB质量为M，长度为l，质量为m的质点C位于AB的延长线上，当质点C从距B点r1处移到距B点r2处（r1＞r2），求引力所作的功.

解析　如下图所示，细杆位于x轴上区间［0，l］，质点C从x轴上坐标l＋r1处移动到坐标为l＋r2处.在细杆上取点x，x＋dx，将细杆段［x，x＋dx］视为质点D，质量为，位于x处.设质点C的坐标为u，则质点C在质点D的引力作用下从l＋r1处移动到l＋r2处所作的功为

于是质点C在细杆AB的引力作用下所作的功为