高等数学竞赛：例题定积分计算

例3.45（江苏省1998年竞赛题）　设连续函数f（x）满足

求f（x）.

解析　设，则f（x）＝x＋Ax2＋Bx3，所以

由上述两式解出，B＝－1，于是.

例3.46（江苏省2017年竞赛题）　设［x］表示实数x的整数部分，试求定积分

解析　作换元变换，令，则

例3.47（江苏省2017年竞赛题）　设n为正整数

（1）求In－In－1（n≥2）；

（2）试求定积分

解析　（1）应用三角函数的和差化积公式得

（2）由第（1）问得

例3.48（江苏省2000年竞赛题）　设

解析　令x－1＝t，则

例3.49（南京大学1995年竞赛题）　＝________.

解析　作换元变换，令xn＝tant，则

例3.50（江苏省2006年竞赛题）　求

例3.51（江苏省2006年竞赛题）　＝________.

解析　令arctanx＝t，作换元变换，则

例3.52（江苏省1994年竞赛题）　已知

解析　因为

应用分部积分法得（因f（1）＝0）

例3.53（江苏省1996年竞赛题）　设

解析　因为f′（t）＝e－t2，f（1）＝0，分部积分得

例3.54（江苏省2016年竞赛题）　设函数，试求定积分

解析　方法1　根据题意，可得再应用分部积分法，有

下面来求f（1）.令得

方法2　先将原积分化为二次积分，再交换二次积分的次序，得

例3.55（江苏省2002年竞赛题）　求(www.xing528.com)

解析

例3.56（江苏省2002年竞赛题）　求

解析

例3.57（江苏省2016年竞赛题）　求定积分

解析　方法1　根据题意，有

在第二项中令x＝π－t，则

方法2　记原式为I，再令x＝π－t，则

于是

例3.58（北京市2000年、浙江省2002年竞赛题）　求积分

解析　应用定积分分部积分公式，有

例3.59（全国大学生2014年预赛题）　求

解析　由于，应用定积分换元法和周期函数的定积分性质，有

例3.60（浙江省2004年竞赛题）　计算

解析　令，则运用基本积分公式与奇函数的定积分性质，有

例3.61（江苏省2000年竞赛题）　设可微函数f（x）在x＞0上有定义，其反函数为g（x）且满足试求f（x）.

解析　在原式中令f（x）＝1得，解得x＝4，即f（4）＝1.设t＝f（x），反函数为x＝f－1（t），故g（t）＝f－1（t），则

积分得，由1＝2＋C，解得C＝－1，于是所求函数为

例3.62（南京大学1995年竞赛题）

（1）证明

（2）计算

解析　（1）令，则

（2）

例3.63（精选题）　设

解析　作定积分的换元变换，令x＝π－t，则

由于F（－a）＝F（a），所以

比较（1）与（2）式即得F（a2）＝2F（a）.