高等数学竞赛题解析教程：求不定积分实例

例3.5（江苏省1998年竞赛题）　求

解析　当x＞1时，应用分部积分法，有

当0＜x＜1时，应用分部积分法，有

在两式中令x＝1得－1＋C＝1＋C1，故C1＝C－2.于是

例3.6（北京市1995年竞赛题）　设y是由方程y3（x＋y）＝x3所确定的隐函数，求.

解析　令x＝ty，代入原方程有（1＋t）y4＝t3y3，从而

所以

例3.7（浙江省2009年竞赛题）　求

解析　因为（xlnx－x）′＝lnx，令x（lnx－1）＝t，应用换元积分法，则

例3.8（江苏省2000年竞赛题）　求

解析　令x2＝t，则

例3.9（南京大学1995年竞赛题）　求

解析　因（xex）′＝ex（x＋1），令xex＝t，则

例3.10（江苏省2004年竞赛题）　＝________.

解析　因为所以

例3.11（江苏省2004年竞赛题）　＝____________.(www.xing528.com)

解析　因为（xtanx）′＝xsec2x＋tanx，所以

例3.12（全国大学生2013年决赛题）　计算不定积分

解析　令xln（1＋x2）dx＝dv，则

注：本题先令xarctanxdx＝dv，求出v后再对原式分部积分，也可计算.

例3.13（解放军防化学院1992年竞赛题）　求.

解析　令，有x＝ln（1＋t2）－ln（1－t2），则

例3.14（北京市1999年竞赛题）　求

解析　令lnx＝t，有x＝et，所以

例3.15（江苏省2002年竞赛题）　＝____________.

解析　分部积分，得

例3.16（江苏省2006年竞赛题）　求

例3.17（南京大学1996年竞赛题）　已知f″（x）连续，f′（x）≠0，求

解析　对被积函数的第二项分部积分，有

例3.18（北京市1990年竞赛题）　计算

解析