2018年高等数学竞赛题解：不等式的证明

例2.94（莫斯科钢铁与合金学院1977年竞赛题）　求证不等式：

解析　不妨设a＜b.令

f（x）＝（ex＋ea）（x－a）－2（ex－ea）　（x≥a）

则f（a）＝0.对f（x）求导，并应用拉格朗日中值定理，得

其中a＜ξ＜x.由于ex＞eξ，所以f′（x）≥0⇒x＞a时f（x）严格增⇒f（x）＞f（a）＝0，即当x＞a时

（ex＋ea）（x－a）＞2（ex－ea）

取x＝b＞a，即得

（eb＋ea）（b－a）＞2（eb－ea）

此式等价于

例2.95（莫斯科大学数力系1977年竞赛题）　求证不等式：

解析　（1）0＜x＜1时，原式，则

令严格增⇒g（x）＜g（1）＝0⇒f′（x）＜0⇒f（x）严格减，故f（x）＞f（1）＝0，即.

（2）x＞1时，原式，则

令严格增严格增，故f1（x）＞f1（1）＝0，即.

由（1）和（2），原式得证.

例2.96（浙江省2007年竞赛题）　证明：

进一步假设，则

当时g′（x）＜0，且g（0）＝0，故

由此，结合f（0）＝1，得

即原不等式成立.

例2.97（全国大学生2017年决赛题）　设，证明：故原不等式成立.

例2.98（浙江省2003年竞赛题）　求使得不等式对所有正整数n都成立的最小的数β.

解析　原不等式等价于，则0＜t≤1.令f（t）＝，问题化为求f（t）的最大值.由于

上式中分母是大于零的，下面来判别分子的符号.令

g（t）＝（1＋t）ln2（1＋t）－t2　（0＜t≤1）

则g′（t）＝ln2（1＋t）＋2ln（1＋t）－2t，.再令h（t）＝ln（1＋t）－t，因为，所以h（t）严格减少，即h（t）＜h（0）＝0，因此g″（t）＜0，推得g′（t）严格减少，即g′（t）＜g′（0）＝0，又推得g（t）严格减少，即g（t）＜g（0）＝0，因此

故f（t）严格减少，由此可得

例2.99（精选题）　设f（x）在［0，＋∞）上二阶可导，f（0）＝1，f′（0）≤1，f″（x）＜f（x），求证：x＞0时，f（x）＜ex.

解析　令F（x）＝e－xf（x），则

F′（x）＝e－x（f′（x）－f（x））

令G（x）＝ex（f′（x）－f（x）），则

G′（x）＝ex（f″（x）－f（x））＜0

⇒G（x）严格减⇒

G（x）＜G（0）＝f′（0）－f（0）≤0(www.xing528.com)

⇒f′（x）－f（x）＜0⇒

F′（x）＝e－x（f′（x）－f（x））＜0

⇒F（x）严格减⇒

F（x）＝e－xf（x）＜F（0）＝1

由此可得f（x）＜ex.

例2.100（江苏省1991年竞赛题）　设a1，a2，…，an为常数，且

解析　令f（x）＝a1sinx＋a2sin2x＋…＋ansinnx，则

所以

｜na1＋（n－1）a2＋…＋2an－1＋an｜≤1

综上，有

例2.101（南京大学1995年竞赛题）　设在［0，2］上定义的函数f（x）∈C（2），且f（a）≥f（a＋b），f″（x）≤0，证明：对于0＜a＜b＜a＋b＜2，恒有

解析　分别在区间［a，b］和［b，a＋b］上应用拉格朗日中值定理，∃ξ∈（a，b）和η∈（b，a＋b），使得

f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）

f（a＋b）－f（b）＝f′（η）（a＋b－b）＝af′（η）

因为f″（x）≤0，所以f′（x）单调减，故f′（ξ）≥f′（η），即

因为f（a）≥f（a＋b），故

bf（b）＋af（a）≥（a＋b）f（a＋b）

即

例2.102（莫斯科国立师范学院1977年竞赛题）　求实数α的取值范围，使得不等式

对一切正数x与y成立.

解析　当α＝1时原式化为x≤x，故α＝1满足条件.当α≠1时，令

若0＜α＜1，则有

所以f（y）在y＝x时有极大值f（x）＝x，于是f（y）＜x（y≠x）.故0＜α＜1时原不等式不成立.若α＜0，则有

所以f（y）在y＝x时有极大值f（x）＝x，于是f（y）＜x（y≠x），故α＜0时原不等式不成立.若α＞1，则有

所以f（y）在y＝x时有极小值f（x）＝x，于是∀y∈R有f（y）≥x.即α＞1时原不等式成立.故所求的α的取值范围是［1，＋∞）.

例2.103（北京市1993年竞赛题）　设y＞x＞0，求证：.

解析　分四种情况证明.

（1）当0＜x＜y≤1时，lnx＜lny≤0，则

（2）当0＜x≤1＜y时，lnx≤0＜lny，则

（3）当1＜x＜y且yx≤xy时，0＜lnx＜lny，则

（4）当1＜x＜y且xy＜yx时，0＜lnx＜lny，ylnx＜xlny，且

于是f′（y）严格增加，所以g（x）严格增加，g（x0）＞g（1）＝0，于是f′（y）＞0，f（y）严格增加，则f（y）＞f（x0）＝0.由x0＞1的任意性，得ylnx＋lnyxlny－lnx＞0，即xyy－yxx＞0，又，所以