例2.12（江苏省2016年竞赛题） 设函数
f（x）＝（x－1）（x－2）2（x－3）3（x－4）4
试求f″（2）.
解析 令g（x）＝（x－1）（x－3）3（x－4）4，则f（x）＝（x－2）2g（x），应用莱布尼茨公式可得
于是
例2.13（南京大学1995年竞赛题） 设f′（0）＝1，f″（0）＝0，求证：在x＝0处，有
解析 因为f″（0）＝0，所以f′（x）在x＝0处可导，因此f′（x）在x＝0处连续.令F（x）＝f（x2），则
F′（x）＝2xf′（x2）， F′（0）＝0
应用二阶导数的定义得
又令G（x）＝f2（x），则
G′（x）＝2f（x）f′（x）， G′（0）＝2f（0）f′（0）＝2f（0）
应用二阶导数的定义得
综上，原式得证.
例2.14（江苏省1994年竞赛题） 设
则f″（0）＝____.
解析 由导数的定义，有
当x≠0时，
，再用定义求f″（0）得
例2.15（全国大学生2009年预赛题） 设y＝y（x）由方程xef（y）＝eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f′≠1，则
＝________
解析 显见x＞0，原式两边取对数得
lnx＋f（y）＝y＋lnln29
两边对x求导数得
由（＊）式可得
式两边对x再求导数得
由此式解出y″，并利用y′的表达式可得
例2.16（江苏省2000年竞赛题） 若y＝y（x）由方程组
确定，求
.
解析 由x＝t2－t，x′（t）＝2t－1，x″（t）＝2，所以x′（0）＝－1，x″（0）＝2.设由tey＋y＋1＝0确定y＝y（t），则y（0）＝－1.方程两边对t求导得
令t＝0得e－1＋0＋y′（0）＝0，所以
.
（＊）式两边求t求导数得
令t＝0得2e－1y′（0）＋0＋0＋y″（0）＝0，所以
.(www.xing528.com)
于是
例2.17（江苏省1991年竞赛题） 设
，其中m，n为正整数，则P（1）＝________.
解析 因为
（1－xm）n＝（1－x）n·（1＋x＋x2＋…＋xm－1）n
令u（x）＝（1－x）n，v（x）＝（1＋x＋…＋xm－1）n，应用莱布尼兹公式，因u（1）＝u′（1）＝…＝u（n－1）（1）＝0，u（n）（1）＝（－1）nn！，所以
例2.18（江苏省1994年竞赛题） 设
，求f（n）（2）.
解析 由
，令u（x）＝（x－2）n，v（x）＝
，由于u（2）＝u′（2）＝…＝u（n－1）（2）＝0，u（n）（2）＝n！，应用莱布尼兹公式得
例2.19（广东省1991年竞赛题） 设
，求f（n）（x）.
解析 应用多项式除法，有
例2.20（江苏省2012年竞赛题） 设y＝ln（1－x2），求y（n）.
解析 由于
例2.21（浙江省2004年竞赛题） 设
，求f（n）（0）.
解析 已知
即（1＋x2）f′（x）＝－1.等式两边对x求（n－1）阶导数，应用莱布尼兹公式，得
令x＝0，得
f（n）（0）＝－（n－1）（n－2）f（n－2）（0）
而
，故f′（0）＝－1，f″（0）＝0.所以当n为偶数时，f（n）（0）＝0；当n为奇数时
即
例2.22（精选题） 设
求y（n）（0）.
解析 由
令x＝0，得y（n＋1）（0）＝n2y（n－1）（0）.由于y′（0）＝1，y″（0）＝y（0）＝0，所以
y（2n）（0）＝0， y（2n＋1）（0）＝4n（n！）2
例2.23（南京大学1996年竞赛题） 设y＝xn－1lnx，求y（n）.
解析 由
归纳假设
所以（＊）k＋1成立，于是（＊）k对∀k＝1，2，…，n－1成立.当k＝n－1时
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