2018年高等数学竞赛题解析教程：连续性与间断点实例分析

例1.36（江苏省1998年竞赛题）　求.

解析　因为

所以

例1.37（江苏省2004年竞赛题）　设函数f（x）在区间（－∞，＋∞）上有定义，在x＝0处连续，且对一切实数x1，x2有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），求证：f（x）在（－∞，＋∞）上处处连续.

解析　在f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2）中令x1＝x2＝0，可得f（0）＝0.因f（x）在x＝0处连续，所以

∀x0∈（－∞，＋∞），令x－x0＝t，则

所以f（x）在x0处连续.由x0∈（－∞，＋∞）的任意性，故f（x）在（－∞，＋∞）上处处连续.

例1.38（南京工业大学2009年竞赛题）　函数的可去间断点为________.

解析　函数f（x）有间断点x＝0与x＝1.由于

所以x＝0为f（x）的可去间断点.由于

所以x＝1是f（x）的跳跃型间断点.

例1.39（精选题）　设有可去间断点x＝1，求a和b的值.

解析　因x＝1为可去间断点，所以a＝1或b＝1.当b＝1时，由于

不合题意.当a＝1时，要存在，必须b＝e.当b＝e时，有(www.xing528.com)

符合题意，所以a＝1，b＝e.

例1.40（精选题）　设f（x）对一切实数满足f（x2）＝f（x），且在x＝0与x＝1处连续，求证：f（x）恒为常数.

解析　由于，且f（x）在x＝1处连续，所以

由于f（x）在x＝0处连续，所以f（0）＝f（1）.故∀x∈R，f（x）＝f（1）.

例1.41（北京市1992年竞赛题）　设函数f（x）在（0，1）上有定义，且函数exf（x）与函数e－f（x）在（0，1）上都是单调递增的，求证：f（x）在（0，1）上连续.

解析　对∀x0∈（0，1），证明f（x）在x0的连续性，首先考虑右连续.

当0＜x0＜x＜1时，由于e－f（x）单调递增，故e－f（x0）≤e－f（x），可知

f（x0）≥f（x）

又因为exf（x）单调递增，故ex0f（x0）≤exf（x），得

ex0－xf（x0）≤f（x）≤f（x0）

在上式中令x→x0＋，由夹逼准则知，即f（x）在x0右连续.同理可得其左连续性.

由此f（x）在x0是连续的，由x0在（0，1）内的任意性知f（x）在（0，1）上连续.