高等数学竞赛题解析教程：夹逼准则与单调有界准则求极限

例1.17（江苏省2006年竞赛题）　求.

解析　利用夹逼准则，令，由于

又

所以.

例1.18（南京大学1995年竞赛题）　求.

解析　由于，当x＞0时

由左边不等式推知，由右边不等式推知，所以

当x＜0时

由左边不等式推知，由右边不等式推知，所以

因而.

例1.19（南京工业大学2009年竞赛题）　求.

解　，由于

因为，由夹逼准则得，故原式＝1＋0＝1.

例1.20（浙江省2007年竞赛题）　求.

解析　

令

则

由于

故

又因为2≤k＜n时

所以

又

由于

故

又因为2≤k＜n时

所以

于是∀n∈｛2，3，…｝，有0＜xn＜3，故

应用夹逼准则，得

例1.21（江苏省2008年竞赛题）　设数列｛xn｝为x1＝1，1，2，…），求证数列｛xn｝收敛，并求其极限.

解析　因为，归纳假设，所以数列｛xn｝单调增.又x1＜3，归纳假设，所以数列｛xn｝有上界3，应用单调有界准则得数列｛xn｝收敛.

令xn→A，则，于是.

例1.22（江苏省2008年竞赛题）　设数列｛xn｝为，求证数列｛xn｝收敛，并求其极根.

解析　因为(www.xing528.com)

所以

由于，应用夹逼准则得x2n→1，x2n＋1→1，故.

例1.23（莫斯科动力学院1975年竞赛题）　设＋a2（n≥1），当a，b满足何条件时数列｛xn｝收敛？并求.

解析　因为xn＋1＝xn＋（xn－a）2，于是xn＋1≥xn，即xn单调增.若｛xn｝收敛，令xn→A⇒A＝a.由

则a－1≤b≤a.

反之，设a－1≤b≤a，则

xn＋1≥xn≥a－1，　xn＋1＝xn＋（xn－a）2≤xn＋a－xn＝a

故｛xn｝单调增，有上界a.

于是a－1≤b≤a，且.

例1.24（莫斯科轻工业学院1977年竞赛题）　求正整数n，使得

n＜6（1－1.001－1000）＜n＋1

解析由于数列单调增加且趋向于e，所以.又.取n＝1000，得

于是所求正整数n＝3.

例1.25（莫斯科公路学院1976年竞赛题）　设a＞b＞0，定义.求证：数列｛an｝和｛bn｝皆收敛，且其极限相等.

解析　由于

所以0＜b＜b1＜a1＜a.同理可得0＜b1＜b2＜a2＜a1，0＜b2＜b3＜a3＜a2.归纳假设0＜bn－1＜bn＜an＜an－1，则

所以0＜bn＜bn＋1＜an＋1＜an，由此得数列｛an｝单调减，有下界b；数列｛bn｝单调增，有上界a.应用单调有界准则，它们皆收敛.设

在两边令n→∞，得

2A＝A＋B，　B2＝AB

由于A＞0，B＞0，所以A＝B，即.

例1.26（莫斯科技术物理学院1976年竞赛题）　设，求证：数列｛cn｝收敛于AB，其中.

解析　由题给条件得

an＝A＋αn，　bn＝B＋βn

这里αn→0，βn→0（n→∞）.于是

由于αn→0，所以∀ε＞0，∃N∈N，当n＞N时，且

另一方面，由于，所以∀ε＞0，∃M∈N，当n＞M时，.故∀ε＞0，取K＝max｛N，M｝，则当n＞K时，有

由极限的定义得，于是

同理可得βn→0时，有

由于αn→0，所以∃k＞0，使得∀n∈N，有｜αn｜＜k，于是

由于βn→0时

所以

综上，在（＊）式中令n→∞，即得.