数学建模在概念与定义教学中的实践与探索

在高等数学角教学中，需要学生对几个重要概念进行掌握，如极限、函数、导数、微分、积分贯穿始终，以下主要是对导数、定积分教学过程中融入建模思想进行研究。

案例一：导数的概念

由于导数概念学生在中学数学中有一定的了解，但是学生对导数概念的理解只停留在“变化率”、“斜率有关”等模糊的认知中，并未对导数概念的本质进行深入学习，因此，首先，应让学生在生活中寻找一些有关变化率的日常实例。

教学目标：使学生掌握导数的概念。明确其物理以及几何意义，在此基础上，可以完成简单函数的导数与微分计算，并能用导数的意义解决某些实际应用中的计算问题。

教学要求：理解导数的概念并能用数学语言进行表达；明确导数的物理以及几何意义；能够求解某些函数的导数；理解导函数的概念；注意区分导数与单侧导数、函数可导与函数连续的关系；会求曲线一点处的切线方程；能够利用导数概念解决一些实际应用问题。

教学方法：“系统讲授”结合“建模思想”。

教学过程：

（1）问题引入

根据学生课前准备，讨论生活中有关变化率的实例。

设计意图：通过熟悉的生活体验，使学生在实际应用中提炼数学模型，为导数概念的引入提供具体背景。

教师通过学生所举实例进行总结，分析学生感知客观世界中存在着变化快慢不同的生活现象，根据学生已有的生活经验进行新知识的建构，在此基础上引入概念，让学生感受到数学知识来源于生活的本质，探究得到用平均变化率来刻画快慢程度。

（2）引例

模型：自由落体变速直线运动的瞬时速度。

提出问题：设有一物体做变速运动，如何求它在任一时刻的瞬时速度？

建立模型：

分析：学生已经掌握匀速运动某一时刻的速度公式s=vt，那变速运动呢？师生讨论，由于变速运动的速度是连续变化的，所以当时间间隔非常短时，可以近似为匀速运动。假设一物体作变速运动，则在物体的运动过程中，对于每一时刻t，物体的相应位置可以用数轴上的一个坐标s表示，则存在函数关系：s=s（t）。

设物体在时刻的位置为s=s（t0）。当在t0时刻时，增加了Δt，物体的位置变为s=s（t0+Δt）。此时，位移发生改变量Δs=s（t0+Δt）-s（t0）。所以，物体在t0到t0+Δt时间段内的平均速度为，其中，当Δt很小时，v可作为物体在t0时刻瞬时速度的近似值。且当Δt越小，v就越接近物体在t0时刻的瞬时速度vt0，即

求物体运动到任意时刻时的瞬时速度的数学模型。

要求解这个模型，对于简单的函数还可以计算，但对于复杂函数的极限则不容易求出，可引入函数改变量与自变量改变量的比值，当自变量改变量趋于零时的极限值。

（3）导数的概念

定义：设函数y=f（x）在点x0的某一领域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx时，函数有相应的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。如果当Δx→0时的极限存在，这个极限值为函数y=f（x）在点x0的导数。

模型求解：

以自由落体为例求解：(www.xing528.com)

设位移函数为，求它在2秒末的瞬时速度？由导数定义可知：

模型检验：上面所求结果与高中内容基本一致，从而也验证了模型的正确性。

模型推广：模型的实质是函数在某点的瞬时变化率，表示局部或微小变化，可进行推广：求函数的某一点的变化率问题。例如切线的斜率、边际成本、化学反应速度等，都可直接用导数求解。

案例二：定积分定义

教学目标：理解定积分的思想；掌握定积分的概念，会用定义计算、证明某些定积分；加深对数学的抽象性特点的认识；体会数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学符号化的意义及属性结合方法；了解近代积分学的发展。

教学内容：问题的提出；定积分的定义；定积分的定义的直接应用。

教学过程：

在实际生活中的土地划分问题，在实际划分中，对不规则的土地采用重点进司法或者将土地先划分为规则区域进行面积计算，然后再估算不规则区域面积，最后累加算出总面积。在此基础上，引出对曲边梯形的面积问题。

实例1：求曲边梯形的面积。

设f∈C［a，b］，且y=f（x）≥0。由曲线y=f（x），直线x=a，x=b以及x轴所围成的平面图形，称为曲边梯形。如下图：

图5-4　曲边梯形　

分析：在初等几何中，学生只掌握由直线段和圆弧所围成的平面图形的面积，为了计算曲边梯形的面积，因此需引入极限的方法进行解决，其实，在初等数学中学生已接触过极限的思想，例如在求解圆面积时借助于一系列变数无限增加的内接或外切正多边形面积的极限。

图5-5　曲边梯形的分割　

实例2：变力所做的功。

设质点受力F的作用沿x轴由点a移动到b，并设F处处平行x轴。

图5-6　

由上面两个例子可计算曲边梯形面积的几何问题，另一个是求变力做功的理学问题，概括总结：不同的问题，但使用的思想方法是完全一致的，都可看作先分割，再取近似、求和，再取极限，在科学技术中还有很多问题都可以归结为这种特殊形式的极限，因此引入定积分概念的背景，并将其一般化，进行一般化的定义。

借助于数学知识与实际问题相结合引入数学概念，对学生加强数学来源于现实的思想转变，使学生初步了解知识的产生于发展过程，也不仅仅只是公式的堆积，教学中充分利用学生的生活经验，通过一定数学活动的展开，引导和启发学生对概念的理解与发现过程，从而向学生展示数学概念形成的来龙去脉，体验数学概念的形成过程，培养学生抽象概括能力与应用意识。