层次分析法在数学建模中的应用

问题是PBCS教学模式的核心，也是该模式课堂教学的起点。这些问题可以来自于真实情景或者指导者创设情境中的不良结构问题。日常生活中的许多问题都可用层次分析法解决，如中学生升学考试时需要在许多大学中作出最理想的选择；公司招聘员工时希望从众多应聘者选择综合情况最好的几个；放假除外旅游时需要在众多的旅游景点中作出选择。这些问题可以由教师直接给出，或是由学生在情境中通过初步感知问题的存在，从而发现、提出问题。发现问题、提出问题是培养创新实践能力的关键。因此，教师应尽可能创设情境，让学生自己产生问题。然而，如果问题是由指导者提出，那么其后指导者需要给予学生一定的时间思考，形成对问题的初步认识。从学习者的角度，学习者对这些问题的感知是开展自主探究的前提。因此，感知问题是PBCS教学模式的第一阶段。不论问题源自于何处，学生在探究前需要充分意识到问题的存在，产生内在困惑，形成问题意识。在该阶段，教师的角色可以使问题的提出者、引导者或情境创设者，其最主要的任务是创设情境，激发问题的产生，引导学生思考问题。

例7　中学生普遍希望到一所好的高校就读，但对学校的评价往往参杂了许多主观因素。要对自己所考虑几所学校进行客观分析，需要有一种定量的方法。这里可以用层析法进行学校的选择。

（1）成立合作小组

（2）设定任务

教师根据问题此时可以设定如下的问题：1）建立层次结构模型。在深入分析实际问题的基础上，如何将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次？2）如何构造成对比矩阵？从层析结构模型的第2层开始，对于从属于（或影响及）上一层每个因素的同一层各个因素，用成对比较法和1-9比较尺度构造成对比较矩阵，直到最下层。3）如何计算权向量并作一致性检验？若成对比较矩阵A具有性质，则称A为一致性矩阵，一致性矩阵有去多良好的性质，很容易就得出该层因素对上一层某有一因素重要性的权重（用权向量表示），但由于人们的主观判断影响，构造的矩阵不一定都是一致性矩阵。4）计算组合权向量并做组合一致性检验？上面得到的是一组元素对其上一层戏中某元素的权向量，最终要得到的是各元素，特别是最底层中个方案对目标的组合权向量。

（3）引导学生完成任务

设某一中学生要在A、B、C这三件学校作出选择。这个问题可以分为三个层次，最上层为目标层，及学校的综合实力，用U表示；最下层为方案层，即选取哪个学校，用Pi表示；中间层为准则层，不同的人可取不同的准则，在这里可以取科研成果、师资队伍、学习环境、校风建设这四个准则，用Ci表示。接着，可以构造成对比较矩阵，计算相应的最大特征根、特征向量。并进行一致性检验。

（4）展示成果，相互交流

对于上述问题，各个小组将建立的模型进行展示，并分析各自的结果。

（5）学习反思

教师引导学生对于评价类的模型进行求解时，可以考虑尝试采用其他的评价方法，比如模糊综合评判法，等等，另外此类问题可以推广到学生对于宿舍的选择，空气中污染物的判定，等等。

例8　应急电力修复系统。

为沿海地区服务的电力公司必须具备应急系统来处理风暴引起的电力中断。这样的系统需要由估计修复的时间、费用和由客观准则判定的停电“价值”构成的数据输入。过去HECO电力公司曾因缺乏优先方案而遭受传播媒介的批评。

（1）成立合作小组(www.xing528.com)

（2）设定任务

教师引导学生先了解题目的相关知识：HECO具有一个实时处理服务电话的计算机数据库，他通常包含下属4项信息：1）报修时间；2）需求者类型；3）估计受害人数；4）地点（x，y）工程队调度所位于（0，0）和（40，40），其中（x，y）以英里为单位。HECO的服务区域在-65＜x＜65和-50＜y＜50之内。因为有极好的道路网络，该地区完全都市化了。工程队可派就立即处理，其他情形都要等暴风雨离开这一地区后才开始工作。工程队有关情况如下：1）工程队调度所位于（0，0）和（40，40）；2）工程队由三个熟练工人组成；3）工程队只是在上下班时间向调度所报到；4）工程队上班时全部时间用来做它的调度所指派的工作。工程队通常按常规执行任务。在风暴离开该区域之前，他们只能因紧急情况派出；5）工程队工作8小时后换班；6）每个调度所智慧留个工程队；7）工程队一天最多加一班，加班领取一倍半工资。

（3）引导学生完成任务

这个问题可以通过对申请修复单位合理排序以及对工人合理指派着手来探讨解答，因而可以用层次分析法求解。根据实际问题可以将所有单位合并为六类，决定因素合并为两类。

根据层次分析法的原理，在合理排序的目标O下，对单位重要性A1和影响人数A2的重要性建立矩阵。经过比较，得到成对比较矩阵如表所示。

表4-7　成对比较矩阵表

根据所求的结果，制定紧急修复计划应该遵循以下原则：根据权重系数大小的顺序来安排修理和指派工人。具体来说，就是：1）一旦申请报告提出了，就按此权系数把申请单位排到代修队伍中，还未排序的单位不修理；2）当有工人可以指派的时候，权重系数大的单位先修复；3）当有多个工人可以指派的时候，应该使得总路程最短。

这是问题的第一步，也是最关键的一步，层析分析法很好的确定了安排修复的客观准则，接下来的工作，就是根据已有的数据，按照已经确定的准则，去选择最优的紧急修复方案。犹豫下一步的工作已经超出了学生接受的能力范围之内，故不再阐述下去。

（4）展示成果，相互交流

对于上述问题，各个小组将建立的模型进行展示，并分析各自的结果。

（5）学习反思

教师引导学生对于评价类的模型进行求解时，可以考虑尝试采用其他的评价方法，比如模糊综合评判法等等，另外此类问题可以推广到学生对于宿舍的选择，空气中污染物的判定，等等。