农产品产地环境评估|克里金法简介

一个随机函数在空间位置上的测量可以看成是随机函数在这些位置上的一次实现。通常，在没有测量值的地方对随机函数进行估计或插值。

对于一种估计方法，要求是无偏估计方法，即没有系统误差，同时要求误差方差最小。克里金法就是一种最好的无偏估计方法。它是无偏的，因为此方法平均残差或误差接近于零；它也是最好的，因为克里金法使估计误差的方差最小。与其他的估计方法相比，使误差的方差最小是克里金法的显著特点。

3.2.2.1　简单克里金法

简单克里金法属于参数克里金及线性克里金的范畴。它是用于具有二阶平稳且平均值是已知的随机变量的一种估计（插值）方法。

简单克里金法的估计公式为：

式（3-29）中，Z（x0）为在x0位置的估计值，Z（xi）为xi位置的测量值，λi为分配给Z（xi）的残差的权重，n为用于估计过程的测量值的个数，m为平均值。

其权系数λi的计算方程为：

式（3-30）中，λi为分配给Z（xi）的残差的权重，C（xi－xj）为xi与xj之间的协方差值，C（x0－xj）为x0与xj之间的协方差值。

根据区域化变量二阶平稳的性质可知，协方差C（h）可由下式计算：

式（3-31）中，C（0）为区域化变量的先验方差，r（h）为半变异函数。

式（3-32）中，各项意义见式（3-30）及式（3-31）。

3.2.2.2　普通克里金法

普通克里金法属于参数克里金及线性克里金的范畴。它是用于具有二阶平稳且平均值是未知的随机变量的一种估计（插值）方法。普通克里金法的估计公式为：

式（3-33）中，Z（x0）为在x0位置的估计值，Z（xi）为xi位置的测量值，λi为分配给Z（xi）的权重，n为用于估计过程的测量值的个数。

其权系数λi的计算方程为：

式（3-34）中，λi为估计权系数；r（xi－xj）为距离为xi和xj两监测点的变异函数的值；μ为拉格朗日乘数；r（x0－xj）为距离为x0（预测点）和xj两监测点的变异函数的值。

3.2.2.3　泛克里金法

泛克里金法属于参数克里金及线性克里金的范畴，但其特点是区域化变量Z（x）不符合二阶平稳，而是存在趋势或漂移。

对于非平稳的区域化变量Z（x），假设它们可以分解为漂移和剩余两部分，即：

其中，m（x）＝E[Z（x）]为在点x处Z（x）的数学期望，称为漂移，可用一次或二次多项式表示；而R（x）＝Z（x）－m（x）称为剩余，它是一个数学期望为零的区域化变量。

一般地，剩余符合二阶平稳假设变差函数存在，即：

一般地，漂移m（x）表示Z（x）的规则而连续的变化，而剩余R（x）则可以认为是围绕漂移摆动的随机误差，且数学期望为零。

已知在n个信息样品中点xa处的重金属含量值Z（xa）＝za（a＝1，2，…，n），欲估计包含信息样品点在内的某领域中任一点x处的重金属含量Z（x）。取泛克里金线性估计量：

式（3-38）中，ZUK为点x处的泛克里金估计量；λa为估计权系数。

估计土壤重金属含量Z（x）的泛克里金方程组为：

一是已知协方差函数的估计方程为：(www.xing528.com)

式（3-39）中，λβ为泛克里金权系数，C（xa，xβ）为监测点a、β的协方差函数，fl（xa）为已知的漂移多项式中的单项式表达式，称为基函数。

二是已知半变异函数的泛克里金法的估计方程和已知协方差函数的基本一致，只是其协方差函数换为半变异函数即可。

泛克里金法的方差：

估计漂移m（x）和漂移系数a1的泛克里金法。

设m（x）的估计量m（x）的线性组合，即：

式（3-41）中，ρa是估计漂移m（x）的权系数，n个信息样品点xa处的重金属含量值Z（xa）＝za（a＝1，2，…，n）。

估计漂移m（x）的泛克里金方程组：

式（3-42）中，ρβ为泛克里金权系数，C（xa，xβ）为监测点a、β的协方差函数，fl（xa）为已知漂移多项式中的单项式表达式，称为基函数。

估计m（x）的泛克里金方差：

漂移系数a1的泛里格方程组：

式（3-44）中，l＝1，2，…，n；a＝1，2，…，n；S＝0，1，…，k。

泛克里金的可加性定量可描述如下：①区域化变量Z（x）的泛克里金估计量可以分解为根据信息样点处剩余的估计值[Za－m（xa）]对剩余的简单克里金估计量和对漂移的泛克里金保计量。②泛克里金估计方差可分解为简单克里金方差与漂移项方差。

对泛克里金漂移及剩余的估计是很烦琐的事，而且存在循环论证的矛盾。为了解决这一问题，G.马特隆提出了K阶本征随机函数法，即通过增加对随机函数的限制条件，而滤掉漂移。这样只要知道了区域化变量中所含多项式漂移的次数，不必实际去求出该多项式，即可设法由原来非平稳的随机函数变换到一个平稳的随机函数。这种方法虽然比较粗糙，但它有利于计算机自动处理非平稳随机函数的数据。当前一些较强大的地质统计学软件都是采用了这种方法。

3.2.2.4　指示克里金法

指示克里金法是普通克里金法的变形，属于线性克里金、非参数克里金的范畴。

内插算法着重于未采样位置估计的最优性。而我们提出的另一个重要问题是关于非取样点的局部不确定性，如对一给定的样品数据集，求在未采样点超过预先选定的一个阈值的概率是多少。回答这类问题必须要求有评价未知点不确定性的概率模型。这里将介绍非参数地质统计学方法的一种——指示克里金法，用来估计一给定属性在未知点处的概率分布。

用以下指示函数来定义累积分布函数，即低于某一特定值（阈值）的数值个数与样本总量的比值：

式（3-45）中，n为样本数值的总个数，i（xj，zc）为指示函数。

式（3-46）中，zc为指标函数的阈值。

指示克里金法的详细说明可参见文献（Chiles et al.，1999；Barbara et al.，2007）。

3.2.2.5　克里金法的特点

克里金法具有如下特点：①与被估计值点距离越近的测量值，对估计值的影响越大，即分配的权重越大。②如果用来进行估值的测量点之间以及测量点与估计点之间的距离都大于变异函数的变差距离（相关尺度），那么克里金估值公式就变成了n个测量值的算术平均值，即与使用传统的统计方法所获得的结果相同。③因为克里金法的基础，即权重的计算是根据变量的空间变异结构所得，所以不仅用来估值的测量点之间的位置关系会对估值精度产生影响，而且测量点与估值点之间的位置关系对估值的精度也很重要。④过滤效应：如果几个样本点位于其径向位置上，那么与估值点最近的样本就把稍远的样本点过滤掉了，即在估值过程中，稍远的样本点几乎不占有任何权重，这一点与其他估计方法，如反距离插值方法不同。⑤分团效应：聚集成团的样本值分配到的集合权重与在它们中心位置的一个样本点分配到的权重几乎相等，这也是与反距离插值的不同之处。⑥克里金法考虑了估值问题中的两个重要方面，样本间的距离和样本团聚，样本之间的距离和团聚都可以通过统计距离来表征，从而在估值过程中考虑了变量的空间连续性和空间分布。⑦由于所有权重之和等于1，所以有的权重可为负值，出现负值通常是过滤效应的结果。⑧权重可以小于0或大于1的优点是，估计点的值可以大于最大的样本值，也可以小于最小的样本值。⑨克里金方法可以计算估计误差（误差的方差），即提供了估计精度。